Sabe-se que 80 \% dos habitantes de uma cidade foram vacinados contra a gripe “H1N1”. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 100 habitantes desta cidade apresentar proporção de vacinados:
a) Acima de 75 \%;

Passo 1

O enunciado dá que 80\% dos habitantes da cidade foram vacinados. Ou seja, a proporção verdadeira na população é p=0,80. Foi retirada uma amostra aleatória de tamanho n=100. A pergunta (a) é: qual é a probabilidade de que a proporção amostral de vacinados seja maior que 75\%, isto é, queremos
\Pr\big(\hat{p}>0,75\big).
Informações relevantes listadas:
  • p=0,80 (proporção na população);
  • n=100 (tamanho da amostra);
  • evento pedido: \hat{p}>0,75.

Passo 2

Vamos usar a distribuição amostral da proporção amostral \hat{p}. Aqui vem a ferramenta teórica: se a amostra é aleatória e n é grande, a variável \hat{p} (proporção amostral) é aproximada por uma normal com média igual à proporção populacional e desvio-padrão igual à raiz quadrada de p(1-p)/n. Em fórmulas:
\mathbb{E}(\hat{p})=p,\qquad \mathrm{SD}(\hat{p})=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
O que isso significa: a média das proporções que obteríamos repetindo muitas amostras é p, e a variação típica em torno dessa média é dada pelo \mathrm{SD}(\hat{p}) acima.

Passo 3

Antes de aplicar a aproximação normal é bom checar se é razoável: usualmente exige-se np\ge 10 e n(1-p)\ge 10. Vamos calcular usando os dados do enunciado:
np=100\cdot 0,80=80\quad\text{e}\quad n(1-p)=100\cdot 0,20=20.
Ambos são maiores que 10, logo a aproximação normal é adequada.

Passo 4

Calculemos a média e o desvio-padrão da distribuição de \hat{p}. Pela fórmula:
\mathbb{E}(\hat{p})=p=0,80.
E o desvio-padrão:
\mathrm{SD}(\hat{p})=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=\sqrt{\frac{0,80\cdot 0,20}{100}}=\sqrt{\frac{0,16}{100}}=\sqrt{0,0016}=0,04.
Interpretação numérica: em média a proporção amostral fica em 0,80 e o “erro padrão” típico é 0,04 (4 pontos percentuais).

Passo 5

Transformamos o problema em uma probabilidade sobre a normal padrão Z. Queremos
\Pr\big(\hat{p}>0,75\big)=\Pr\!\left(\frac{\hat{p}-0,80}{0,04}>\frac{0,75-0,80}{0,04}\right).
Calcule a razão no lado direito:
\frac{0,75-0,80}{0,04}=\frac{-0,05}{0,04}=-1,25.
Portanto
\Pr\big(\hat{p}>0,75\big)=\Pr\big(Z>-1,25\big),
onde Z é uma normal padrão N(0,1).

Passo 6

Usando propriedades da normal padrão, \Pr(Z>-1,25)=1-\Pr(Z\le -1,25). Pela simetria da normal, \Pr(Z>-1,25)=\Pr(Z<1,25). Consultando uma tabela da normal padrão ou usando uma calculadora, o valor de \Phi(1,25) (função de distribuição acumulada da normal padrão em 1,25) é aproximadamente 0,8944. Logo
\Pr\big(\hat{p}>0,75\big)\approx 0,8944.
Interpretação em palavras: há cerca de 89,44\% de chance de uma amostra de 100 moradores mostrar mais de 75\% vacinados quando a proporção real é 80\%.

Resposta

0,8944

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