Sabe-se que
dos habitantes de uma cidade foram vacinados contra a gripe “H1N1”. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 100 habitantes desta cidade apresentar proporção de vacinados:
a) Acima de
;
a) Acima de
Passo 1
O enunciado dá que
dos habitantes da cidade foram vacinados. Ou seja, a proporção verdadeira na população é
. Foi retirada uma amostra aleatória de tamanho
. A pergunta (a) é: qual é a probabilidade de que a proporção amostral de vacinados seja maior que
, isto é, queremos
Informações relevantes listadas:
-
(proporção na população); -
(tamanho da amostra); - evento pedido:
.
Passo 2
Vamos usar a distribuição amostral da proporção amostral
. Aqui vem a ferramenta teórica: se a amostra é aleatória e
é grande, a variável
(proporção amostral) é aproximada por uma normal com média igual à proporção populacional e desvio-padrão igual à raiz quadrada de
. Em fórmulas:
O que isso significa: a média das proporções que obteríamos repetindo muitas amostras é
, e a variação típica em torno dessa média é dada pelo
acima.
Passo 3
Antes de aplicar a aproximação normal é bom checar se é razoável: usualmente exige-se
e
. Vamos calcular usando os dados do enunciado:
Ambos são maiores que
, logo a aproximação normal é adequada.
Passo 4
Calculemos a média e o desvio-padrão da distribuição de
. Pela fórmula:
E o desvio-padrão:
Interpretação numérica: em média a proporção amostral fica em
e o “erro padrão” típico é
(4 pontos percentuais).
Passo 5
Transformamos o problema em uma probabilidade sobre a normal padrão
. Queremos
Calcule a razão no lado direito:
Portanto
onde
é uma normal padrão
.
Passo 6
Usando propriedades da normal padrão,
. Pela simetria da normal,
. Consultando uma tabela da normal padrão ou usando uma calculadora, o valor de
(função de distribuição acumulada da normal padrão em
) é aproximadamente
. Logo
Interpretação em palavras: há cerca de
de chance de uma amostra de
moradores mostrar mais de
vacinados quando a proporção real é
.