Determine o valor de y para que o triângulo de vértices A(4;3), B(5; y) e C(6;-3) tenha área igual a 2 uma.​

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor de $ y $ de forma que o triângulo formado pelos pontos $ A(4, 3) $, $ B(5, y) $ e $ C(6, -3) $ tenha uma área igual a 2 unidades. Vamos usar geometria analítica para resolver isso, especificamente a fórmula da área de um triângulo usando coordenadas dos vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de um triângulo dado os seus vértices $ A(x_1, y_1) $, $ B(x_2, y_2) $ e $ C(x_3, y_3) $. A fórmula é:
A(x1, y1) Á
Essa fórmula vem do determinante da matriz formada pelas coordenadas dos pontos.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos nossos pontos. Substituindo os valores:
Área = 12 | 4(y - (-3)) + 5(-3 - 3) + 6(3 - y) | Á
Simplificando dentro do valor absoluto:
Área = 12 | 4(y + 3) + 5(-6) + 6(3 - y) | Á

Passo 4

Agora, vamos calcular cada termo:
4(y + 3) = 4y + 12
5(-6) = -30
6(3 - y) = 18 - 6y
Substituindo de volta na fórmula:
Área = 12 | 4y + 12 - 30 + 18 - 6y | Á

Passo 5

Vamos simplificar dentro do valor absoluto:
4y + 12 - 30 + 18 - 6y = (4y - 6y) + (12 - 30 + 18) = -2y + 0 = -2y
Então, a área fica:
Área = 12 | -2y | = 12 times 2|y| = |y| Á

Passo 6

Sabemos que a área deve ser igual a 2. Portanto:
|y| = 2
Isso significa que $ y $ pode ser 2 ou -2.

Resposta

O valor de $ y $ que satisfaz a condição é $ y = 2 $ ou $ y = -2 $.

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