Determine o valor de y para que o triângulo de vértices A(4;3), B(5; y) e C(6;-3) tenha área igual a 2 uma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor de $ y $ de forma que o triângulo formado pelos pontos $ A(4, 3) $, $ B(5, y) $ e $ C(6, -3) $ tenha uma área igual a 2 unidades. Vamos usar geometria analítica para resolver isso, especificamente a fórmula da área de um triângulo usando coordenadas dos vértices.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de um triângulo dado os seus vértices $ A(x_1, y_1) $, $ B(x_2, y_2) $ e $ C(x_3, y_3) $. A fórmula é:
Essa fórmula vem do determinante da matriz formada pelas coordenadas dos pontos.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula aos nossos pontos. Substituindo os valores:
Simplificando dentro do valor absoluto:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada termo:
Substituindo de volta na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar dentro do valor absoluto:
Então, a área fica:
Passo 6
Sabemos que a área deve ser igual a 2. Portanto:
Isso significa que $ y $ pode ser 2 ou -2.
Resposta
O valor de $ y $ que satisfaz a condição é $ y = 2 $ ou $ y = -2 $.