Um hemisfério sólido uniforme apoia-se em uma parede vertical e está prestes a escorregar. O lado redondo do hemisfério está em contato com a parede e o chão. Se o coeficiente de atrito mu é o mesmo para a parede e o chão, encontre o ângulo entre a face plana do hemisfério e o chão.

Passo 1

Então, temos um hemisfério sólido que está apoiado numa parede vertical e no chão, e está quase escorregando. A pergunta quer saber qual é o ângulo entre a face plana do hemisfério e o chão, dado que o coeficiente de atrito ( mu) é o mesmo tanto para a parede quanto para o chão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática, como equilíbrio de forças e momentos, além de entender como o atrito funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar todas as forças atuando no hemisfério. Temos:
  1. Força Peso ( P): Atua no centro de massa do hemisfério, apontando para baixo.
  2. Força Normal da Parede ( Np): Perpendicular à parede, empurrando o hemisfério para a parede.
  3. Força Normal do Chão ( Nc): Perpendicular ao chão, empurrando o hemisfério para cima.
  4. Força de Atrito na Parede ( fp): Paralela à parede, impedindo o deslizamento para baixo.
  5. Força de Atrito no Chão ( fc): Paralela ao chão, impedindo o deslizamento para dentro da parede.
Como o hemisfério está em equilíbrio, a soma de todas as forças e momentos deve ser zero.

Passo 3

Vamos começar equilibrando as forças na direção horizontal e vertical.
  • Equilíbrio Horizontal:
    Np = fc
    Aqui, a força normal da parede é igual à força de atrito no chão porque não há movimento horizontal.
  • Equilíbrio Vertical:
    Nc + fp = P
    A força normal do chão mais a força de atrito na parede equilibram o peso do hemisfério.

Passo 4

Sabemos que a força de atrito é dada por:
f = mu N
Aplicando isso às forças de atrito:
  • Para a parede: fp = mu Np
  • Para o chão: fc = mu Nc

Passo 5

Substituindo fp e fc nas equações de equilíbrio:
  • Equilíbrio Horizontal: Np = mu Nc
  • Equilíbrio Vertical: Nc + mu Np = P

Passo 6

Agora, substituímos Np da equação horizontal na equação vertical:
Nc + mu (mu Nc) = P
Nc (1 + mu^2) = P
Nc = P1 + mu^2

Passo 7

Voltando para Np:
Np = mu Nc = mu ( P1 + mu^2 ) = mu P1 + mu^2

Passo 8

Agora, vamos considerar o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto de contato com o chão. O torque devido ao peso deve ser equilibrado pelo torque das forças normais.
Assumindo que o raio do hemisfério é R, o centro de massa está a uma distância 3R8 do ponto de contato.
P times 3R8 cos theta = Np times R sin theta

Passo 9

Substituindo Np:
P times 3R8 cos theta = mu P1 + mu^2 times R sin theta
Cancelando P e R:
38 cos theta = mu1 + mu^2 sin theta

Passo 10

Dividindo ambos os lados por cos theta:
38 = mu1 + mu^2 tan theta
tan theta = 38 cdot 1 + mu^2mu

Passo 11

Portanto, o ângulo theta pode ser encontrado usando a função arco-tangente:
theta = arctan( 3(1 + mu^2)8mu )

Resposta

O ângulo entre a face plana do hemisfério e o chão é dado por:
theta = arctan( 3(1 + mu^2)8mu )

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