Um hemisfério sólido uniforme apoia-se em uma parede vertical e está prestes a escorregar. O lado redondo do hemisfério está em contato com a parede e o chão. Se o coeficiente de atrito
é o mesmo para a parede e o chão, encontre o ângulo entre a face plana do hemisfério e o chão.
Passo 1
Então, temos um hemisfério sólido que está apoiado numa parede vertical e no chão, e está quase escorregando. A pergunta quer saber qual é o ângulo entre a face plana do hemisfério e o chão, dado que o coeficiente de atrito (
) é o mesmo tanto para a parede quanto para o chão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática, como equilíbrio de forças e momentos, além de entender como o atrito funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar todas as forças atuando no hemisfério. Temos:
- Força Peso (
): Atua no centro de massa do hemisfério, apontando para baixo. - Força Normal da Parede (
): Perpendicular à parede, empurrando o hemisfério para a parede. - Força Normal do Chão (
): Perpendicular ao chão, empurrando o hemisfério para cima. - Força de Atrito na Parede (
): Paralela à parede, impedindo o deslizamento para baixo. - Força de Atrito no Chão (
): Paralela ao chão, impedindo o deslizamento para dentro da parede.
Como o hemisfério está em equilíbrio, a soma de todas as forças e momentos deve ser zero.
Passo 3
Vamos começar equilibrando as forças na direção horizontal e vertical.
-
Equilíbrio Horizontal:Aqui, a força normal da parede é igual à força de atrito no chão porque não há movimento horizontal.
-
Equilíbrio Vertical:A força normal do chão mais a força de atrito na parede equilibram o peso do hemisfério.
Passo 4
Sabemos que a força de atrito é dada por:
Aplicando isso às forças de atrito:
- Para a parede:
- Para o chão:
Passo 5
Substituindo
e
nas equações de equilíbrio:
- Equilíbrio Horizontal:
- Equilíbrio Vertical:
Passo 6
Agora, substituímos
da equação horizontal na equação vertical:
Passo 7
Voltando para
:
Passo 8
Agora, vamos considerar o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto de contato com o chão. O torque devido ao peso deve ser equilibrado pelo torque das forças normais.
Assumindo que o raio do hemisfério é
, o centro de massa está a uma distância
do ponto de contato.
Passo 9
Substituindo
:
Cancelando
e
:
Passo 10
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 11
Portanto, o ângulo
pode ser encontrado usando a função arco-tangente:
Resposta
O ângulo entre a face plana do hemisfério e o chão é dado por: