Com o objetivo de estudar a variabilidade do tempo de reação a um certo estímulo, foi coletada aleatoriamente uma amostra cujo resultado, em segundos, foi: 1,2 1,5 1,1
llllll2,2 & 1,7 & 1,5 & 2,5 & 1,8 & 2,1 2,3. Nessas condições, responda:
(d) Um intervalo de 90 % de confiança para tal parâmetro, interpretando o seu resultado. Diga também qual suposição devemos fazer para resolver esse item.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre intervalo de confiança! O objetivo é encontrar um intervalo de 90% de confiança para o tempo médio de reação a um estímulo. Para isso, vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão e usar a distribuição t de Student, já que a amostra é pequena (n = 10). Também vamos assumir que os dados seguem uma distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos tempos de reação. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores. Então:
barx = 1,2 + 1,5 + 1,1 + 2,2 + 1,7 + 1,5 + 2,5 + 1,8 + 2,1 + 2,310
Calculando isso:
barx = 17,610 = 1,76 segundos

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra, que mede quanto os dados estão espalhados em torno da média. A fórmula do desvio padrão amostral é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
(1,2 - 1,76)^2 &= 0,3136 (1,5 - 1,76)^2 &= 0,0676 (1,1 - 1,76)^2 &= 0,4356 (2,2 - 1,76)^2 &= 0,1936 (1,7 - 1,76)^2 &= 0,0036 (1,5 - 1,76)^2 &= 0,0676 (2,5 - 1,76)^2 &= 0,5476 (1,8 - 1,76)^2 &= 0,0016 (2,1 - 1,76)^2 &= 0,1156 (2,3 - 1,76)^2 &= 0,2916
Somando esses valores:
0,3136 + 0,0676 + 0,4356 + 0,1936 + 0,0036 + 0,0676 + 0,5476 + 0,0016 + 0,1156 + 0,2916 = 1,9332
Então,
s = raiz1,93329 = raiz0,2148 approx 0,4635 segundos

Passo 4

Agora que temos a média ( barx = 1,76 segundos) e o desvio padrão ( s approx 0,4635 segundos), vamos montar o intervalo de confiança de 90%. Para isso, usamos a fórmula:
barx pm talpha/2, , df times sraizn
Onde:
  • talpha/2, , df é o valor crítico da distribuição t para 90% de confiança e df = n - 1 = 9.
  • n = 10 é o tamanho da amostra.
Consultando a tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que para 90% de confiança e 9 graus de liberdade, t approx 1,833.

Passo 5

Vamos agora calcular o erro padrão da média:
sraizn = 0,4635raiz10 approx 0,46353,1623 approx 0,1466
Multiplicando pelo valor t:
1,833 times 0,1466 approx 0,2685

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
1,76 pm 0,2685 Rightarrow [1,76 - 0,2685, , 1,76 + 0,2685] Rightarrow [1,4915, , 2,0285]
Podemos arredondar para duas casas decimais:
[1,49 segundos, , 2,03 segundos]

Resposta

Um intervalo de 90% de confiança para o tempo médio de reação é entre 1,49 segundos e 2,03 segundos. Isso significa que estamos 90% confiantes de que o verdadeiro tempo médio de reação está dentro desse intervalo. A suposição que fizemos para resolver esse item é que os dados seguem uma distribuição normal.

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