Sabe-se que numa corrida de revezamento de 60[\mathrm{~km}] com 10 atletas (cada um correndo 6[\mathrm{~km}] ) o tempo que cada atleta demora para completar o percurso tem distribuição aproximadamente normal de média 40 [Minutos] e desvio padrão de 9 [Minutos]. Se 10 atletas são escolhidos ao acaso para uma prova, qual a probabilidade ( \mathbf{2 , 5} pontos):
a) Da equipe completar o percurso em menos de 6 horas? e;
b) Qual é o tempo que apenas 4 \% das equipes farão mais abaixo?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados (retirei estes diretamente do enunciado):
    • Número de atletas da equipe: ...10....
    • Cada atleta corre ...6\,[\mathrm{km}]... (isso só descreve a prova, não altera os tempos).
    • Tempo de cada atleta é aproximadamente normal com média ...40\,[\mathrm{minutos}]... e desvio padrão ...9\,[\mathrm{minutos}]....
    • Os ...10... atletas são escolhidos ao acaso e assumimos que os tempos são independentes entre atletas.
  • Perguntas:
    • (a) Qual a probabilidade de a equipe completar o percurso em menos de ...6 horas? (Note: ...6 horas =360 minutos.)
    • (b) Qual é o tempo tal que apenas 4\% das equipes farão mais rápido (isto é, o quantil de 0{,}04 da distribuição do tempo total)?

Passo 2

Modelo matemático e propriedades necessárias (explicação didática).
  • Vamos chamar de ...X_i... o tempo (em minutos) do i-ésimo atleta, para i=1,\dots,10.
  • Pelo enunciado, cada ...X_i... tem distribuição aproximadamente normal com \mathbb{E}[X_i]=40,\qquad \mathrm{sd}(X_i)=9.Aqui \mathbb{E}[X_i] é a média (valor esperado) do tempo do atleta i, e \mathrm{sd}(X_i) é o desvio padrão.
  • O tempo total da equipe é a soma S = \sum_{i=1}^{10} X_i.
  • Importante (teoria necessária): a soma de variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas também é normal. As fórmulas que usamos são:
    • Média da soma: \mathbb{E}[S] = \sum_{i=1}^{10} \mathbb{E}[X_i].
    • Variância da soma (quando são independentes): \mathrm{Var}(S) = \sum_{i=1}^{10} \mathrm{Var}(X_i).
    • Desvio padrão da soma é \mathrm{sd}(S)=\sqrt{\mathrm{Var}(S)}.
  • Explicando as variáveis:
    • \mathbb{E}[S] é a média do tempo total da equipe;
    • \mathrm{Var}(S) mede a variação quadrática média do tempo total;
    • \mathrm{sd}(S) é a raiz quadrada da variância e tem as mesmas unidades (minutos).

Passo 3

Cálculo da média e desvio padrão do tempo total ...S....
  • Como cada atleta tem média ...40... e há ...10... atletas, \mathbb{E}[S] = 10 \times 40 = 400\\ \text{(minutos)}.
  • A variância de cada atleta é \mathrm{Var}(X_i)=9^2=81. Como são independentes, \mathrm{Var}(S) = 10 \times 81 = 810.
  • Logo o desvio padrão do tempo total é \mathrm{sd}(S)=\sqrt{810}=9\sqrt{10}\approx 28{,}4604989\\ \text{(minutos)}.

Passo 4

Resolvendo (a): probabilidade de completar em menos de ...6 horas ( ...360 minutos).
  • Queremos P(S<360).
  • Para trabalhar com a normal padrão (tabela ou função \Phi), padronizamos com Z=\frac{S-\mathbb{E}[S]}{\mathrm{sd}(S)}=\frac{S-400}{28{,}4604989},onde ...Z... tem distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1).
  • Então P(S<360)=P\!\left(Z<\frac{360-400}{28{,}4604989}\right)=P\!\left(Z<\frac{-40}{28{,}4604989}\right).
  • Calculando o valor de z: z=\frac{-40}{28{,}4604989}\approx -1{,}405.(Aqui fiz a divisão explicitamente: -40/28{,}4604989\approx -1{,}405.)
  • Agora usamos a tabela da normal padrão ou uma calculadora para obter \Phi(z)=P(Z<z).
    • A função de distribuição acumulada para z=-1{,}405 é aproximadamente ...0{,}0800... (pois \Phi(-1{,}405)\approx 0{,}0800).
  • Interpretação: cerca de 8{,}0\% das equipes completarão em menos de ...6 horas.

Passo 5

Explicando como achar o percentil (teoria para o item b).
  • Para encontrar o tempo que somente 4\% das equipes farão mais rápido, precisamos do quantil inferior de nível ...0{,}04... da distribuição de S.
  • Em termos de Z, queremos o valor t tal que P(S<t)=0{,}04 \quad\Longleftrightarrow\quad P\!\left(Z<\frac{t-400}{28{,}4604989}\right)=0{,}04.
  • Seja z_{0{,}04} o quantil padrão tal que \Phi(z_{0{,}04})=0{,}04. Esse z_{0{,}04} é um número negativo (porque 0{,}04<0{,}5). Pela tabela/inverso da normal padrão: z_{0{,}04}\approx -1{,}7507.(Explicação prática: a tabela/inverso da normal dá este número; muitas calculadoras/softwares retornam -1{,}7507 para o quantil 0{,}04. Se você só tiver tabela com tabulações até -1{,}75, pode usar -1{,}75 como aproximação.)
  • Então resolvemos para t: \frac{t-400}{28{,}4604989}=z_{0{,}04}\quad\Longrightarrow\quad t=400 + z_{0{,}04}\times 28{,}4604989.

Passo 6

Cálculo numérico do item (b) e conversão para horas:minutos:segundos.
  • Substituindo z_{0{,}04}\approx -1{,}7507, t \approx 400 + (-1{,}7507)\times 28{,}4604989 \approx 400 - 49{,}825\approx 350{,}175\\ \text{(minutos)}.
  • Convertendo ...350{,}175 minutos para horas e minutos:
    • ...350{,}175 minutos = ...5 horas (que são 5\times 60=300 minutos) mais ...50{,}175 minutos.
    • ...0{,}175 minuto é ...0{,}175\times 60\approx 10{,}5 segundos.
  • Portanto t\approx 350{,}18 minutos, ou aproximadamente ...5 horas ...50 minutos e ...10{,}5 segundos.

Resposta

(a) P(S<360)\approx 0{,}0800 (ou cerca de 8{,}00\%).
(b) Tempo tal que apenas 4\% são mais rápidos: aproximadamente 350{,}18 minutos (\approx 5\\ \text{h }50\\ \text{min }10{,}5\\ \text{s}).

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