Sabe-se que numa corrida de revezamento de
com 10 atletas (cada um correndo
) o tempo que cada atleta demora para completar o percurso tem distribuição aproximadamente normal de média 40 [Minutos] e desvio padrão de 9 [Minutos]. Se 10 atletas são escolhidos ao acaso para uma prova, qual a probabilidade (
pontos):
a) Da equipe completar o percurso em menos de 6 horas? e;
b) Qual é o tempo que apenas
das equipes farão mais abaixo?
a) Da equipe completar o percurso em menos de 6 horas? e;
b) Qual é o tempo que apenas
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados (retirei estes diretamente do enunciado):
- Número de atletas da equipe:
. - Cada atleta corre
(isso só descreve a prova, não altera os tempos). - Tempo de cada atleta é aproximadamente normal com média
e desvio padrão . - Os
atletas são escolhidos ao acaso e assumimos que os tempos são independentes entre atletas.
- Número de atletas da equipe:
-
Perguntas:
- (a) Qual a probabilidade de a equipe completar o percurso em menos de
horas? (Note: horas minutos.) - (b) Qual é o tempo tal que apenas
das equipes farão mais rápido (isto é, o quantil de da distribuição do tempo total)?
- (a) Qual a probabilidade de a equipe completar o percurso em menos de
Passo 2
Modelo matemático e propriedades necessárias (explicação didática).
- Vamos chamar de
o tempo (em minutos) do i-ésimo atleta, para . - Pelo enunciado, cada
tem distribuição aproximadamente normal com Aqui é a média (valor esperado) do tempo do atleta , e é o desvio padrão. - O tempo total da equipe é a soma
- Importante (teoria necessária): a soma de variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas também é normal. As fórmulas que usamos são:
- Média da soma:
- Variância da soma (quando são independentes):
- Desvio padrão da soma é
.
- Média da soma:
- Explicando as variáveis:
-
é a média do tempo total da equipe; -
mede a variação quadrática média do tempo total; -
é a raiz quadrada da variância e tem as mesmas unidades (minutos).
-
Passo 3
Cálculo da média e desvio padrão do tempo total
.
- Como cada atleta tem média
e há atletas, - A variância de cada atleta é
. Como são independentes, - Logo o desvio padrão do tempo total é
Passo 4
Resolvendo (a): probabilidade de completar em menos de
horas (
minutos).
- Queremos
. - Para trabalhar com a normal padrão (tabela ou função
), padronizamos com onde tem distribuição normal padrão . - Então
- Calculando o valor de
: (Aqui fiz a divisão explicitamente: .) - Agora usamos a tabela da normal padrão ou uma calculadora para obter
. - A função de distribuição acumulada para
é aproximadamente (pois ).
- A função de distribuição acumulada para
- Interpretação: cerca de
das equipes completarão em menos de horas.
Passo 5
Explicando como achar o percentil (teoria para o item b).
- Para encontrar o tempo que somente
das equipes farão mais rápido, precisamos do quantil inferior de nível da distribuição de . - Em termos de
, queremos o valor tal que - Seja
o quantil padrão tal que . Esse é um número negativo (porque ). Pela tabela/inverso da normal padrão: (Explicação prática: a tabela/inverso da normal dá este número; muitas calculadoras/softwares retornam para o quantil . Se você só tiver tabela com tabulações até , pode usar como aproximação.) - Então resolvemos para
:
Passo 6
Cálculo numérico do item (b) e conversão para horas:minutos:segundos.
- Substituindo
, - Convertendo
minutos para horas e minutos: -
minutos = horas (que são minutos) mais minutos. -
minuto é segundos.
-
- Portanto
minutos, ou aproximadamente horas minutos e segundos.
Resposta
(a)
(ou cerca de
).
(b) Tempo tal que apenas são mais rápidos: aproximadamente
minutos
.
(b) Tempo tal que apenas