Em um certo processo de produção, itens a ser fabricados passam por dois estágios de manufatura. Ao fim de cada estágio, os itens são refugados (com probabilidade de 0,05 ), enviados para reprocessamento no mesmo estágio (com probabilidade de 0,05 ) ou avançam para o passo seguinte (com probabilidade de 0,9 ). A necessidade de mão-de-obra é de 2 [homens.hora] no primeiro e de 3 [homens.hora] no segundo estágio. Os custos de mão-deobra correspondentes são 10[R \] e15[R $] . O custo material é deé10[R $] e o valor da sucata é deé1[\mathrm{R} $] . Responda os itens a seguir (\mathbf{2 , 5}$ pontos).
a) Descreva e modele o diagrama de transição de estados. Se for iniciado um lote com 1000 peças, qual o número esperado de peças acabadas?;
b) Calcule o custo esperado total por peça acabada.
Nota: As operações com matrizes deverão ser descritas e realizadas manualmente.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Descrever e modelar o diagrama de transição de estados do processo (dois estágios com refugiados, reprocessamento e avanço) e, se iniciarmos um lote com 1000 peças, calcular o número esperado de peças acabadas.
  2. (b) Calcular o custo esperado total por peça acabada, levando em conta horas-homem, custos de mão-de-obra, custo material e valor da sucata.
Informações relevantes dadas (vou listar tudo explicitamente):
  • Em cada estágio (tanto no estágio 1 quanto no estágio 2), as probabilidades ao fim de uma operação são:
    • refugado (sucata): \;0,05;
    • reprocessamento no mesmo estágio (volta ao mesmo estágio): \;0,05;
    • avanço para o próximo passo (no estágio 1 avança para estágio 2; no estágio 2 avança para peça acabada): \;0,90.
  • Necessidade de mão-de-obra:
    • estágio 1: 2 [homem.hora];
    • estágio 2: 3 [homem.hora].
  • Custos por homem.hora:
    • para estágio 1: \,10\\ \mathrm{R\$} por homem.hora;
    • para estágio 2: \,15\\ \mathrm{R\$} por homem.hora.
  • Custo de material por peça: \,10\\ \mathrm{R\$}.
  • Valor da sucata (recuperação) por peça refugada: \,1\\ \mathrm{R\$}.
  • Observação: devo descrever e realizar manualmente as operações com matrizes quando usadas.

Passo 2

Modelagem do diagrama de transição de estados (descrição e matriz de transição).
  • Vou definir estados que representam a situação de uma peça no processo:
    • Estado S_1: “em processamento/controle do estágio 1” (transiente);
    • Estado S_2: “em processamento/controle do estágio 2” (transiente);
    • Estado D: “Sucata / refugado” (absorvente);
    • Estado F: “Peça acabada” (absorvente).
  • Regras de transição (peguei as probabilidades diretamente do enunciado):
    • De S_1: para D com probabilidade \;0,05; para S_1 (reprocesso) com probabilidade \;0,05; para S_2 com probabilidade \;0,90.
    • De S_2: para D com probabilidade \;0,05; para S_2 (reprocesso) com probabilidade \;0,05; para F com probabilidade \;0,90.
    • Estados D e F são absorventes (ficam lá).
  • Escrevo a matriz de transição no formato padrão de cadeia de Markov com a ordem dos estados [S_1, S_2, D, F]. Cada linha soma 1.
P = \begin{pmatrix} 0{,}05 & 0{,}90 & 0{,}05 & 0{,}00\\[4pt] 0{,}00 & 0{,}05 & 0{,}05 & 0{,}90\\[4pt] 0{,}00 & 0{,}00 & 1{,}00 & 0{,}00\\[4pt] 0{,}00 & 0{,}00 & 0{,}00 & 1{,}00 \end{pmatrix}
  • Para calcular probabilidades de absorção (probabilidade de terminar em D ou F começando em S_1), uso a forma padrão de cadeias absorventes: separar P em blocos com os estados transientes T=[S_1,S_2] e absorventes A=[D,F].
    • A submatriz Q (transiente→transiente) com ordem [S_1,S_2] é
    Q = \begin{pmatrix} 0{,}05 & 0{,}90\\[4pt] 0{,}00 & 0{,}05 \end{pmatrix}(a entrada Q_{11}=0{,}05 é o reprocesso em S_1; Q_{12}=0{,}90 é o avanço de S_1 para S_2; Q_{21}=0 porque de S_2 não volta para S_1; Q_{22}=0{,}05 é reprocesso em S_2.)
    • A submatriz R (transiente→absorvente) com colunas na ordem [D,F] é
    R = \begin{pmatrix} 0{,}05 & 0{,}00\\[4pt] 0{,}05 & 0{,}90 \end{pmatrix}(cada linha dá probabilidades imediatas de ir para D ou F a partir do transiente correspondente).
  • A matriz fundamental é N=(I-Q)^{-1}. Primeiro escrevo I-Q:
I-Q = \begin{pmatrix} 1-0{,}05 & -0{,}90\\[4pt] 0{,}00 & 1-0{,}05 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}95 & -0{,}90\\[4pt] 0{,}00 & 0{,}95 \end{pmatrix}
  • Calculo manualmente a inversa de uma matriz triangular superior \begin{pmatrix} a & b \\\\ 0 & d \end{pmatrix} que é \begin{pmatrix} 1/a & -b/(a d) \\\\ 0 & 1/d \end{pmatrix}. Aplicando aqui:
    • a=0{,}95,\; b=-0{,}90,\; d=0{,}95.
    • Então
    N = (I-Q)^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{0{,}95} & \dfrac{0{,}9}{0{,}95^2}\\[8pt] 0 & \dfrac{1}{0{,}95} \end{pmatrix}.Vou simplificar em frações exatas: \dfrac{1}{0{,}95}=\dfrac{1}{95/100}=\dfrac{100}{95}=\dfrac{20}{19}. E \dfrac{0{,}9}{0{,}95^2}=\dfrac{9/10}{(95/100)^2}=\dfrac{9}{10}\cdot\dfrac{10000}{9025}=\dfrac{9000}{9025}=\dfrac{360}{361}.Assim N = \begin{pmatrix} \dfrac{20}{19} & \dfrac{360}{361}\\[6pt] 0 & \dfrac{20}{19} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Cálculo das probabilidades de absorção (matriz B = N\!R).
  • Multiplico N por R manualmente:
N = \begin{pmatrix} \dfrac{20}{19} & \dfrac{360}{361}\\[6pt] 0 & \dfrac{20}{19} \end{pmatrix}, \qquad R = \begin{pmatrix} 0{,}05 & 0{,}00\\[4pt] 0{,}05 & 0{,}90 \end{pmatrix}.
  • Produto B = N R: calculo entrada a entrada.
    • B_{11} = \dfrac{20}{19}\cdot 0{,}05 \;+\; \dfrac{360}{361}\cdot 0{,}05 = 0{,}05\!\left(\dfrac{20}{19}+\dfrac{360}{361}\right).
      Usando 0{,}05 = \dfrac{1}{20}, fica B_{11} = \dfrac{1}{20}\left(\dfrac{20}{19}+\dfrac{360}{361}\right) = \dfrac{1}{19}+\dfrac{18}{361} = \dfrac{37}{361}.Interpretação: começando em S_1, probabilidade eventual de terminar em sucata D é \dfrac{37}{361}.
    • B_{12} = \dfrac{20}{19}\cdot 0 \;+\; \dfrac{360}{361}\cdot 0{,}90 = \dfrac{360}{361}\cdot \dfrac{9}{10} = \dfrac{324}{361}.
      Interpretação: começando em S_1, probabilidade eventual de terminar em peça acabada F é \dfrac{324}{361}.
    • Para completar (começando em S_2) as probabilidades são as entradas da segunda linha de B:
      • B_{21} = 0\cdot 0{,}05 + \dfrac{20}{19}\cdot 0{,}05 = \dfrac{1}{19} = \dfrac{19}{361}\cdot\dfrac{1}{19} (mais simplesmente \dfrac{1}{19});
      • B_{22} = 0\cdot 0 + \dfrac{20}{19}\cdot 0{,}90 = \dfrac{18}{19} = \dfrac{342}{361}.
    • Nota: as probabilidades a partir de S_1 somam \dfrac{37}{361} + \dfrac{324}{361} = 1, ok.
  • Respondendo a parte (a): para um lote de 1000 peças iniciadas em S_1, o número esperado de peças acabadas é
1000 \times \dfrac{324}{361} = \dfrac{324000}{361} \approx 897{,}5069.
(ou seja, em média aproximadamente 897{,}51 peças acabadas.)]

Passo 4

Preparo para o cálculo do custo: custos por visita a cada estágio e número esperado de visitas.
  • Custo de mão-de-obra por visita (uma execução do estágio):
    • Estágio 1: 2 [homem.hora] a \,10\\ \mathrm{R\!\$}/homem.hora \Rightarrow custo por execução do estágio 1 é C_1 = 2\cdot 10 = 20\\ \mathrm{R\!\$}.
    • Estágio 2: 3 [homem.hora] a \,15\\ \mathrm{R\!\$}/homem.hora \Rightarrow custo por execução do estágio 2 é C_2 = 3\cdot 15 = 45\\ \mathrm{R\!\$}.
  • Observação sobre visitas: a matriz fundamental N dá, linha por linha, o número esperado de vezes que o processo estará nos estados transientes quando iniciado em um dado transiente. Em particular, começando em S_1:
    • número esperado de visitas a S_1 é N_{11}=\dfrac{20}{19} (ou seja, em média cada peça passa 20/19 vezes pelo estágio 1, contando reprocessos);
    • número esperado de visitas a S_2 é N_{12}=\dfrac{360}{361}.
      (Peguei esses valores da matriz N calculada acima.)
  • Assim, o custo esperado total de mão-de-obra por peça iniciada (média por peça do lote inicial) é
\text{Labor}_{\text{esperado por peça}}\;=\;C_1\cdot N_{11} \;+\; C_2\cdot N_{12}.ç

Passo 5

Cálculo numérico do custo de mão-de-obra esperado por peça iniciada.
  • Substituindo:
C_1\cdot N_{11} = 20\cdot \dfrac{20}{19} = \dfrac{400}{19}.
C_2\cdot N_{12} = 45\cdot \dfrac{360}{361} = \dfrac{16200}{361}.
  • Somando (colocando em denominador comum 361):
\text{Labor}_{\text{esperado}} = \dfrac{400}{19} + \dfrac{16200}{361} = \dfrac{400\cdot 19}{361} + \dfrac{16200}{361} = \dfrac{7600 + 16200}{361} = \dfrac{23800}{361}.
  • Em valor decimal,
\text{Labor}_{\text{esperado}} \approx \dfrac{23800}{361} \approx 65{,}92798\\ \mathrm{R\!\$}\\ \text{por peça iniciada.}ç

Passo 6

Cálculo do custo de material líquido por peça iniciada (material menos sucata esperada).
  • Custo material por peça (incorrido sempre ao iniciar a peça): \;10\\ \mathrm{R\!\$}.
  • Probabilidade total de sucata começando em S_1 (obtida em B_{11} no Passo 3) é \dfrac{37}{361}.
  • Assim o valor esperado recuperado por sucata por peça iniciada é 1\cdot \dfrac{37}{361} = \dfrac{37}{361}\\ \mathrm{R\!\$}.
  • Logo custo material líquido esperado por peça iniciada é
10 - \dfrac{37}{361} = \dfrac{3610 - 37}{361} = \dfrac{3573}{361}.
  • Em decimal,
\text{Material líquido}_{\text{esperado}} \approx \dfrac{3573}{361} \approx 9{,}89751\\ \mathrm{R\!\$}.í

Passo 7

Cálculo do custo total esperado por peça iniciada e conversão para custo por peça acabada.
  • Soma dos itens por peça iniciada:
\text{Custo total esperado por peça iniciada} = \text{Labor}_{\text{esperado}} + \text{Material líquido}_{\text{esperado}} = \dfrac{23800}{361} + \dfrac{3573}{361} = \dfrac{27373}{361}.çí
  • Em decimal,
\dfrac{27373}{361} \approx 75{,}82549\\ \mathrm{R\!\$}\\ \text{por peça iniciada (em média).}çé
  • Para obter o custo por peça acabada, divido o custo médio por peça iniciada pela probabilidade de que uma peça iniciada venha a ficar acabada (essa probabilidade é \dfrac{324}{361} do Passo 3):
\text{Custo esperado por peça acabada} = \dfrac{\dfrac{27373}{361}}{\dfrac{324}{361}} = \dfrac{27373}{324}.ç
  • Em decimal,
\dfrac{27373}{324} \approx 84{,}4845679\\ \mathrm{R\!\$}.

Resposta

(a) Modelo de transição: estados S_1,S_2,D,F com matriz
[
P= \begin{pmatrix} 0{,}05 & 0{,}90 & 0{,}05 & 0{,}00\\[4pt] 0{,}00 & 0{,}05 & 0{,}05 & 0{,}90\\[4pt] 0{,}00 & 0{,}00 & 1{,}00 & 0{,}00\\[4pt] 0{,}00 & 0{,}00 & 0{,}00 & 1{,}00 \end{pmatrix}.
)
Número esperado de peças acabadas a partir de 1000 iniciadas:
\displaystyle 1000\cdot \dfrac{324}{361}=\dfrac{324000}{361}\approx 897{,}5069.
(b) Custo esperado total por peça acabada:
\displaystyle \dfrac{27373}{324}\\ \mathrm{R\!\$}\approx 84{,}4846\\ \mathrm{R\!\$}.]

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