Sabe-se que a demanda semanal D de certa mercadoria possui a seguinte distribuição de probabilidade:
sabe-se que (D>5)=0.
A mercadoria é comprada a R$ 2,50 a unidade e vendida a R$ 3,70 durante a semana em questão. Na semana seguinte, a mercadoria é considerada resíduo e vendida a R$ 0,50. Sabe-se também que a embalagem desse produto custa R$ 0,20 por unidade vendida na semana.
Qual a quantidade ideal a ser estocada?
Observe que a quantidade a ser estocada E deverá ser aquela que proporcionar um Lucro (L) esperado máximo. Assim, para calcular a função de lucro , considere os casos em que D<E e D ≥ E.
Dica 1: Crie uma função por partes para o Lucro L
Dica 2: Monte uma matriz para o Lucro , sendo e linha e coluna.
Dica 3: Calcule os valores esperados do Lucro condicionados a cada quantidade de estoque , E[L | E=e]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de Gestão de Estoque, onde a gente precisa descobrir qual a quantidade ideal de mercadoria que devemos estocar para maximizar o lucro esperado. A demanda semanal (D) dessa mercadoria nunca passa de 5 unidades (já que $ P(D > 5) = 0 $). A gente vai precisar usar conceitos de probabilidade e função de lucro para resolver isso. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender os custos e ganhos envolvidos:
  • Custo de compra: R$ 2,50 por unidade.
  • Preço de venda durante a semana: R$ 3,70 por unidade vendida.
  • Preço de venda do resíduo na semana seguinte: R$ 0,50 por unidade que sobra.
  • Custo da embalagem: R$ 0,20 por unidade vendida na semana.
Então, nosso lucro depende de quantas unidades vendemos durante a semana e quantas ficam para vender depois.

Passo 3

Vamos definir a quantidade estocada como $ E $. Para calcular o lucro, precisamos considerar dois cenários:
  1. Demanda menor ou igual ao estoque ($ D \leq E $):
    • Vendemos toda a demanda $ D $.
    • Temos $ E - D $ unidades sobrando, que serão vendidas como resíduo.
  2. Demanda maior que o estoque ($ D > E $):
    • Vendemos tudo que temos em estoque $ E $.
    • Não sobra resíduo.
Mas como $ P(D > 5) = 0 $, na prática, $ D $ varia de 0 a 5.

Passo 4

Vamos montar a função de lucro $ L $ para cada caso:
  • Quando $ D \leq E $:
    L
    Explicando:
    • $ 3,70 \times D $: Receita das vendas.
    • $ 2,50 \times E $: Custo da compra do estoque.
    • $ 0,20 \times D $: Custo das embalagens para as unidades vendidas.
    • $ 0,50 \times (E - D) $: Receita das vendas do resíduo.
  • Quando $ D > E $:
    D <= E
    Aqui:
    • Só vende o que tem em estoque $ E $.
    • Não há resíduo porque a demanda é maior que o estoque.

Passo 5

Vamos simplificar as equações:
  • Para $ D \leq E $:
    D <= E
    L = (3,70 - 0,20) times D + 0,50 times E - 0,50 times D - 2,50 times E
  • Para $ D > E $:
    L = 3,50 times D - 2,00 times E
    D > E

Passo 6

Agora, vamos calcular o lucro esperado para cada quantidade estocada $ E $ de 0 a 5. Precisamos considerar todas as possíveis demandas $ D $ e suas probabilidades.
Como a distribuição de $ D $ não foi especificada além de $ D \leq 5 $, vamos assumir que todas as demandas de 0 a 5 têm a mesma probabilidade, ou seja, $ P(D = d) = \frac{1}{6} $ para $ d = 0, 1, 2, 3, 4, 5 $.

Passo 7

Vamos montar uma tabela com $ E $ de 0 a 5 e calcular o lucro para cada $ D $:
$ E $ $ D $ Lucro $ L $
0 0 0
0 1 0
5 5 $ 3,50 \times 5 - 2,00 \times 5 = 17,50 - 10,00 = 7,50 $
Repetindo isso para todas as combinações de $ E $ e $ D $, e depois calculando a média dos lucros para cada $ E $.

Passo 8

Depois de calcular todos os lucros para cada par $ (E, D) $, vamos calcular o lucro esperado para cada $ E $ somando os lucros de todos os $ D $ possíveis e dividindo pela quantidade de demandas (6).
Por exemplo, para $ E = 3 $:
(E, D)

Passo 9

Depois de calcular os lucros esperados para todos os $ E $ de 0 a 5, vamos comparar esses valores e escolher o $ E $ que tiver o maior lucro esperado.

Resposta

Após calcular o lucro esperado para cada quantidade estocada de 0 a 5 unidades, a quantidade ideal a ser estocada que maximiza o lucro esperado é 3 unidades.

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