Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Três bolas são retiradas com reposição. Seja X: o número de bolas brancas.
Faça a distribuição de probabilidade da variável aleatória Xe calcule o valor esperado, a variância e o desvio padrão.
Determine a probabilidade de serem retiradas mais do que uma bola branca.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma urna com 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Vamos retirar 3 bolas, uma de cada vez, com reposição, ou seja, após cada retirada, colocamos a bola de volta na urna. Queremos analisar a variável aleatória $ X $, que representa o número de bolas brancas retiradas.
Para resolver isso, vamos trabalhar com Distribuição Binomial, que é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (no nosso caso, 3 retiradas), cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou fracasso). Aqui, consideraríamos “sucesso” retirar uma bola branca.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da Distribuição Binomial:
- Número de tentativas ($ n $): 3 (pois retiraremos 3 bolas).
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa ($ p $): a probabilidade de tirar uma bola branca. Como há 4 bolas brancas e 6 pretas, totalizando 10 bolas, $ p = \frac{4}{10} = 0,4 $.
A variável aleatória $ X $ segue uma distribuição binomial com esses parâmetros, ou seja, $ X \sim B(n=3, p=0,4) $.
Passo 3
Agora, vamos montar a distribuição de probabilidade para $ X $. $ X $ pode assumir os valores 0, 1, 2 ou 3 (número de bolas brancas retiradas).
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
Vamos calcular para cada valor de $ k $:
- $ P(X = 0) $:
- $ P(X = 1) $:
- $ P(X = 2) $:
- $ P(X = 3) $:
Passo 4
Então, a distribuição de probabilidade de $ X $ fica assim:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor esperado (média), a variância e o desvio padrão da variável $ X $.
Para a distribuição binomial, temos as seguintes fórmulas:
- Valor Esperado ($ E(X) $):
- Variância ($ Var(X) $):
- Desvio Padrão ($ \sigma $):
Vamos calcular:
- Valor Esperado:
- Variância:
- Desvio Padrão:
Passo 6
Por fim, queremos determinar a probabilidade de serem retiradas mais do que uma bola branca, ou seja, $ P(X > 1) $.
Isso equivale a $ P(X = 2) + P(X = 3) $.
Usando a distribuição que montamos:
Resposta
A distribuição de probabilidade de $ X $ é:
O valor esperado de $ X $ é 1,2, a variância é 0,72 e o desvio padrão é aproximadamente 0,849. A probabilidade de serem retiradas mais do que uma bola branca é 0,352.