Sabe-se que uma determinada moeda apresenta cara três vezes mais frequentemente que coroa. Essa moeda é lançada 4 vezes. Seja X o número de caras que aparece. Encontre a distribuição de probabilidade de X .
Passo 1
O enunciado diz que temos uma moeda trucada que dá “cara” 3 vezes mais seguido que “coroa”. A gente joga essa moeda 4 vezes e define a variável aleatória
como o número de caras obtidas.
Conteúdo: distribuição binomial.
O que precisamos: o número de ensaios , a probabilidade de sucesso (cara)
, e usar a fórmula da binomial.
Conteúdo: distribuição binomial.
O que precisamos: o número de ensaios
Passo 2
Vamos descobrir
. Como a moeda dá cara 3 vezes mais que coroa, temos
E
Seja
Passo 3
Na distribuição binomial, com parâmetros
e
, a probabilidade de obter exatamente
sucessos em
ensaios é
Aqui,
Passo 4
Então, para
,
Passo 5
Vamos calcular cada valor:
-
:$$\Pr(X=0)=\binom{4}{0}\Bigl(\tfrac34\Bigr)0\Bigl(\tfrac14\Bigr)4=1\cdot1\cdot\tfrac{1}{256}=\tfrac{1}{256}. \Pr(X=1)=\binom{4}{1}\Bigl(\tfrac34\Bigr)1\Bigl(\tfrac14\Bigr)3=4\cdot\tfrac34\cdot\tfrac{1}{64}=\tfrac{12}{256}=\tfrac{3}{64}. \Pr(X=2)=\binom{4}{2}\Bigl(\tfrac34\Bigr)2\Bigl(\tfrac14\Bigr)2=6\cdot\tfrac{9}{16}\cdot\tfrac{1}{16}=\tfrac{54}{256}=\tfrac{27}{128}. \Pr(X=3)=\binom{4}{3}\Bigl(\tfrac34\Bigr)3\Bigl(\tfrac14\Bigr)1=4\cdot\tfrac{27}{64}\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{108}{256}=\tfrac{27}{64}. \Pr(X=4)=\binom{4}{4}\Bigl(\tfrac34\Bigr)4\Bigl(\tfrac14\Bigr)0=1\cdot\tfrac{81}{256}\cdot1=\tfrac{81}{256}.$$
Resposta
A distribuição de probabilidade de
é dada por
$$\Pr(X=k)=\binom{4}{k}\Bigl(\tfrac34\Bigr)k\Bigl(\tfrac14\Bigr){4-k},
\quad k=0,1,2,3,4,$$
ou numericamente:
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ou numericamente:
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