Sabe-se que uma determinada moeda apresenta cara três vezes mais frequentemente que coroa. Essa moeda é lançada 4 vezes. Seja X o número de caras que aparece. Encontre a distribuição de probabilidade de X .

Passo 1

O enunciado diz que temos uma moeda trucada que dá “cara” 3 vezes mais seguido que “coroa”. A gente joga essa moeda 4 vezes e define a variável aleatória X como o número de caras obtidas.
Conteúdo: distribuição binomial.
O que precisamos: o número de ensaios n=4, a probabilidade de sucesso (cara) p, e usar a fórmula da binomial.

Passo 2

Vamos descobrir p=Pr(cara). Como a moeda dá cara 3 vezes mais que coroa, temos
Pr(cara)Pr(coroa)=3,
E Pr(cara)+Pr(coroa)=1.
Seja Pr(coroa)=q. Então Pr(cara)=3q e
3q+q=1Rightarrow 4q=1Rightarrow q=tfrac14, p=3q=tfrac34

Passo 3

Na distribuição binomial, com parâmetros n e p, a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n ensaios é
Pr(X=k)=binomnk,p^k,(1-p)^,n-k
Aqui, n=4 e p=tfrac34.

Passo 4

Então, para k=0,1,2,3,4,
Pr(X=k)=binom4kl(tfrac34r)^kl(tfrac14r)^4-k

Passo 5

Vamos calcular cada valor:
  • k=0:$$\Pr(X=0)=\binom{4}{0}\Bigl(\tfrac34\Bigr)0\Bigl(\tfrac14\Bigr)4=1\cdot1\cdot\tfrac{1}{256}=\tfrac{1}{256}. Pr(X=0)=binom40l(tfrac34r)^0l(tfrac14r)^4 =1cdot1cdottfrac1256=tfrac1256\Pr(X=1)=\binom{4}{1}\Bigl(\tfrac34\Bigr)1\Bigl(\tfrac14\Bigr)3=4\cdot\tfrac34\cdot\tfrac{1}{64}=\tfrac{12}{256}=\tfrac{3}{64}. k=1\Pr(X=2)=\binom{4}{2}\Bigl(\tfrac34\Bigr)2\Bigl(\tfrac14\Bigr)2=6\cdot\tfrac{9}{16}\cdot\tfrac{1}{16}=\tfrac{54}{256}=\tfrac{27}{128}. Pr(X=1)=binom41l(tfrac34r)^1l(tfrac14r)^3 =4cdottfrac34cdottfrac164=tfrac12256=tfrac364\Pr(X=3)=\binom{4}{3}\Bigl(\tfrac34\Bigr)3\Bigl(\tfrac14\Bigr)1=4\cdot\tfrac{27}{64}\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{108}{256}=\tfrac{27}{64}. k=2\Pr(X=4)=\binom{4}{4}\Bigl(\tfrac34\Bigr)4\Bigl(\tfrac14\Bigr)0=1\cdot\tfrac{81}{256}\cdot1=\tfrac{81}{256}.$$

Resposta

A distribuição de probabilidade de X é dada por
$$\Pr(X=k)=\binom{4}{k}\Bigl(\tfrac34\Bigr)k\Bigl(\tfrac14\Bigr){4-k},
\quad k=0,1,2,3,4,$$
ou numericamente:
- Pr(X=k)=binom4kl(tfrac34r)^kl(tfrac14r)^4-k, k=0,1,2,3,4,
- Pr(X=0)=tfrac1256
- Pr(X=1)=tfrac364
- Pr(X=2)=tfrac27128
- Pr(X=3)=tfrac2764

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