Considere a função
f(x)=c (C cdot(3 x-x 3), se 0á
Para que valor de C temos que a função f é uma função densidade de probabilidade? Repita o problema considerando a função
f(x)=c (C cdot(3 x-x 3) , se 0á

Passo 1

Beleza, olha o que a questão tá pedindo: a gente tem duas funções do tipo
f(x)= C,(3x - x^3),&se (x) está num intervalo dado, 0,&caso contrário, áá
e quer saber qual deve ser o valor de integral x^n,dx = x^n+1n+1 pra ser uma densidade de probabilidade.
Conteúdo envolvido: integral definida de polinômio e condição básica de densidade (a área total tem de ser 1). A gente vai usar a regra
pra calcular e igualar a 1.

Passo 2

Primeiro caso: suporte integral-infty^infty f(x),dx = 1 Longrightarrow integral0^3/2 C,(3x - x^3),dx = 1 .
  1. Condição de densidade:
integral0^3/2 3x,dx ;-; integral0^3/2 x^3,dx
  1. Quebrando em duas integrais:
integral 3x,dx = 3;x^22 = 32x^2, integral x^3,dx = x^44
  1. Calcula cada uma:
integral0^3/23x,dx = 32x^2|0^3/2 = 32!l(tfrac32r)^2 = 32cdot94 = 278,
Então
integral0^3/2x^3,dx = x^44|0^3/2 = 14!l(tfrac32r)^4 = 14cdot8116 = 8164
integral0^3/2(3x - x^3),dx = 278 - 8164 = 21664 - 8164 = 13564
  1. Junta tudo:
C cdot 13564 = 1 Longrightarrow C = 64135
Então

Passo 3

Segundo caso: suporte integral0^2 C,(3x - x^3),dx = 1 .
  1. Mesma condição:
integral0^23x,dx = 32x^2|0^2 = 32cdot4 = 6,
  1. Calcula separado:
integral0^2x^3,dx = x^44|0^2 = 14cdot16 = 4
integral0^2(3x - x^3),dx = 6 - 4 = 2,
  1. Então
Ccdot 2 = 1 Longrightarrow C = 12
e vem

Resposta

Para que seja densidade de probabilidade, vale:
  • No caso : .
  • No caso : .

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