Duas máquinas A e B produzem peças idênticas, sendo que a produção da máquina A é o triplo da produção da máquina B. A máquina A produz 80 % de peças boas e a máquina B produz 90 %. Uma peça é selecionada ao acaso no estoque e verifica-se que é boa. Qual a probabilidade de que tenha sido fabricada pela máquina A ?

Passo 1

Beleza, resumindo o enunciado: temos duas máquinas, A e B, que fazem peças idênticas. A produz o triplo do que B, e sabemos que
  • A acerta 80% das peças (ou seja, P(boamid A)=0.8)
  • B acerta 90% das peças (ou seja, P(boamid B)=0.9)
    Agora, a peça que a gente pegou aleatoriamente do estoque é boa. Queremos saber qual a probabilidade de ela ter vindo da máquina A, isto é, P(Amid boa).
    Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos precisar de:
  1. As probabilidades a priori P(A) e P(B).
  2. As probabilidades condicionais P(boamid A) e P(boamid B).
  3. Aplicar o Teorema de Bayes para achar P(Amid boa).

Passo 2

Primeiro a gente acha P(A) e P(B). Se a produção de A é o triplo da de B, podemos imaginar B produzindo 1 unidade e A produzindo 3 unidades, totalizando 4 unidades. Então:
P(A)=34, P(B)=14

Passo 3

O Teorema de Bayes diz:
P(Amid boa) =P(A),P(boamid A)P(boa),
onde
P(boa) = P(A),P(boamid A);+;P(B),P(boamid B)

Passo 4

Agora é só substituir:
  • P(A)=3/4, P(boamid A)=0.8
  • P(B)=1/4, P(boamid B)=0.9
Calcular P(boa):
P(boa) = 34times0.8 ;+;14times0.9 = 0.6 + 0.225 = 0.825
Então,
P(Amid boa) = 34times0.80.825 = 0.60.825 approx 0.72727ldots

Resposta

A probabilidade de a peça boa ter sido fabricada pela máquina A é de aproximadamente
boxed0.7273(ou 72,73%)

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