Sabe-se que uma determinada moeda apresenta a face cara (c) três vezes mais frequentemente que coroa (k). Essa moeda é jogada três vezes. Seja a v.a. X o número de caras que aparece.
Determine a função de distribuição acumulada de X, F(X).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma moeda que, quando jogada, mostra “cara” ( c) três vezes mais frequentemente que “coroa” ( k). Essa moeda é lançada três vezes, e queremos descobrir a função de distribuição acumulada da variável aleatória X, que representa o número de caras que aparecem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir as probabilidades de sair cara e coroa em um único lançamento. Sabemos que P(c) é três vezes maior que P(k). Vamos chamar P(k) de p. Então:
P(c) = 3p
Como a soma das probabilidades deve ser 1, temos:
P(c) + P(k) = 1 3p + p = 1 4p = 1 p = 14
Portanto:
P(c) = 3 times 14 = 34 P(k) = 14

Passo 3

Agora, vamos considerar que a moeda é lançada três vezes. A variável aleatória X pode assumir os valores 0, 1, 2 ou 3, correspondendo ao número de caras que aparecem. Para cada valor de X, precisamos calcular P(X <= x), que é a probabilidade de obter até x caras.

Passo 4

Vamos calcular as probabilidades individuais usando a fórmula da distribuição binomial:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • C(n, k) é a combinação de n elementos tomados k a k,
  • p é a probabilidade de sucesso (neste caso, P(c) = 34),
  • n = 3 é o número de tentativas.
Vamos calcular para cada k:
  1. Para k = 0:
P(X = 0) = C(3, 0) times (34)^0 times (14)^3 = 1 times 1 times 164 = 164
  1. Para k = 1:
P(X = 1) = C(3, 1) times (34)^1 times (14)^2 = 3 times 34 times 116 = 964
  1. Para k = 2:
P(X = 2) = C(3, 2) times (34)^2 times (14)^1 = 3 times 916 times 14 = 2764
  1. Para k = 3:
P(X = 3) = C(3, 3) times (34)^3 times (14)^0 = 1 times 2764 times 1 = 2764

Passo 5

Agora, vamos montar a função de distribuição acumulada F(X), que é a soma das probabilidades até o valor x:
  1. Para x < 0:
F(X) = 0
  1. Para 0 <= x < 1:
F(X) = P(X <= 0) = 164
  1. Para 1 <= x < 2:
F(X) = P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 164 + 964 = 1064 = 532
  1. Para 2 <= x < 3:
F(X) = P(X <= 2) = P(X <= 1) + P(X = 2) = 1064 + 2764 = 3764
  1. Para x >= 3:
F(X) = P(X <= 3) = 3764 + 2764 = 6464 = 1

Resposta

A função de distribuição acumulada de X, F(X), é dada por:
F(X) = 0, & para x < 0 164, & para 0 <= x < 1 532, & para 1 <= x < 2 3764, & para 2 <= x < 3 1, & para x >= 3

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