Sabe-se que uma determinada moeda apresenta a face cara
três vezes mais frequentemente que coroa
. Essa moeda é jogada três vezes. Seja a v.a.
o número de caras que aparece.
Determine a função de distribuição acumulada de
.
Determine a função de distribuição acumulada de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma moeda que, quando jogada, mostra “cara” (
) três vezes mais frequentemente que “coroa” (
). Essa moeda é lançada três vezes, e queremos descobrir a função de distribuição acumulada da variável aleatória
, que representa o número de caras que aparecem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir as probabilidades de sair cara e coroa em um único lançamento. Sabemos que
é três vezes maior que
. Vamos chamar
de
. Então:
Como a soma das probabilidades deve ser 1, temos:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos considerar que a moeda é lançada três vezes. A variável aleatória
pode assumir os valores 0, 1, 2 ou 3, correspondendo ao número de caras que aparecem. Para cada valor de
, precisamos calcular
, que é a probabilidade de obter até
caras.
Passo 4
Vamos calcular as probabilidades individuais usando a fórmula da distribuição binomial:
Onde:
-
é a combinação de elementos tomados a , -
é a probabilidade de sucesso (neste caso, ), -
é o número de tentativas.
Vamos calcular para cada
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, vamos montar a função de distribuição acumulada
, que é a soma das probabilidades até o valor
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A função de distribuição acumulada de
,
, é dada por: