A chance de que um bit transmitido por um canal digital de transmissão seja recebido com erro é de 0,1. Suponha que as tentativas de transmissão sejam independentes. Seja a v.a.
o número de bits com erro nos próximos quatro bits transmitidos.
Esboce os gráficos da função de probabilidade de
e da
.
Esboce os gráficos da função de probabilidade de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de erro na transmissão de bits em um canal digital. Aqui, a chance de um bit ser recebido com erro é de 0,1 (ou seja, 10%). Queremos saber quantos bits terão erro nos próximos quatro bits transmitidos. Para isso, vamos usar o conceito de distribuição binomial, que é ótimo para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou fracasso).
Passo 2
Primeiro, vamos definir a variável aleatória $ X $ como o número de bits com erro nos quatro bits transmitidos. Como cada bit tem uma chance de 0,1 de dar erro e as transmissões são independentes, $ X $ segue uma distribuição binomial com parâmetros $ n = 4 $ (número de tentativas) e $ p = 0,1 $ (probabilidade de sucesso, ou seja, de erro neste caso).
Passo 3
A função de probabilidade da distribuição binomial é dada por:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $,
- $ p $ é a probabilidade de sucesso,
- $ k $ é o número de sucessos que queremos calcular.
Passo 4
Vamos calcular $ P(X = k) $ para cada valor possível de $ k $ (0, 1, 2, 3, 4):
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
- Para $ k = 4 $:
Passo 5
Agora, vamos resumir esses valores em uma tabela para facilitar a visualização dos gráficos:
$ k $ | $ P(X = k) $ |
---|---|
0 | 0,6561 |
1 | 0,2916 |
2 | 0,0486 |
3 | 0,0036 |
4 | 0,0001 |
Passo 6
Para a função de probabilidade de $ X $, o gráfico seria uma série de barras nas alturas correspondentes aos valores de $ P(X = k) $ para cada $ k $. Ou seja, uma barra alta para $ k = 0 $, menor para $ k = 1 $, bem baixa para $ k = 2 $, quase invisível para $ k = 3 $ e praticamente nenhuma para $ k = 4 $.
Para a função distribuição acumulada $ F(X) $, vamos somar as probabilidades acumuladas até cada $ k $:
- $ F(0) = P(X \leq 0) = 0,6561 $
- $ F(1) = P(X \leq 1) = 0,6561 + 0,2916 = 0,9477 $
- $ F(2) = P(X \leq 2) = 0,9477 + 0,0486 = 0,9963 $
- $ F(3) = P(X \leq 3) = 0,9963 + 0,0036 = 0,9999 $
- $ F(4) = P(X \leq 4) = 1,0000 $
O gráfico da função distribuição acumulada $ F(X) $ seria uma escada que começa em 0,6561 para $ k = 0 $, sobe para 0,9477 em $ k = 1 $, quase atinge 1 em $ k = 2 $, e fica praticamente em 1 para $ k = 3 $ e $ k = 4 $.
Resposta
A função de probabilidade de $ X $ é:
E a função distribuição acumulada $ F(X) $ é:
Esses valores podem ser representados em gráficos de barras para a função de probabilidade e em uma escada para a função distribuição acumulada.