A chance de que um bit transmitido por um canal digital de transmissão seja recebido com erro é de 0,1. Suponha que as tentativas de transmissão sejam independentes. Seja a v.a. X o número de bits com erro nos próximos quatro bits transmitidos.
Determine o valor esperado e a variância de X.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um canal digital que transmite bits, e cada bit tem uma chance de 10% (0,1) de ser recebido com erro. As tentativas de transmissão são independentes, ou seja, o erro em um bit não afeta os outros. Queremos descobrir, nos próximos quatro bits transmitidos, qual é o valor esperado (média) e a variância (dispersão) do número de bits que terão erro.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é perfeita para situações onde há um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou fracasso), e queremos contar o número de sucessos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da Distribuição Binomial no nosso caso:
  • n (número de tentativas) = 4 bits
  • p (probabilidade de sucesso, ou seja, de erro) = 0,1
Aqui, “sucesso” significa que o bit foi recebido com erro.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado $ E[X] $, que nos dá a média de bits com erro esperados nas quatro transmissões. A fórmula do valor esperado para uma Distribuição Binomial é:
E[X]
Substituindo os valores:
E[X] = n times p

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a variância $ Var(X) $, que nos indica como os números de bits com erro estão espalhados em relação à média. A fórmula da variância para uma Distribuição Binomial é:
Var(X)
Substituindo os valores:
Var(X) = n times p times (1 - p)

Resposta

O valor esperado de $ X $ é 0,4 e a variância de $ X $ é 0,36.

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