Sabe-se que determinada peça produzida por uma fábrica têm probabilidade de 0,01 de apresentar defeitos, independentemente uns dos outros. A fábrica vende as peças em pacotes contendo 10 unidades e oferece uma garantia de devolução se mais de 1 peça em 10 apresentar algum defeito.
Se a fábrica vendeu 1000 pacotes dessas peças em determinado período, qual o número .esperado de pacotes que poderão ser trocados?
(1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, então o exercício diz o seguinte: cada pacote tem 10 peças, cada peça tem probabilidade 0,01 de dar defeito e os defeitos são independentes. A fábrica devolve o pacote se tiver mais de 1 peça defeituosa. A gente vendeu 1000 pacotes e quer saber quantos, em média, vão ser devolvidos.
Conteúdo: probabilidade, distribuição binomial. Vamos usar a fórmula da binomial pra achar a chance de “mais de 1 defeito” num pacote e depois multiplicar pelo total de pacotes.

Passo 2

Primeiro, a variável aleatória X = número de peças defeituosas num pacote de 10. Como cada peça é “sucesso” (defeito) com p = 0,01 e temos n = 10 tentativas independentes, X ~ Binomial(n=10, p=0.01).
A teoria: para Binomial,
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k

Passo 3

A gente quer P(X > 1). É mais fácil achar o complemento:
P(X > 1) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]
Então
P(X=0) = binom100(0.01)^0(0.99)^10 = (0.99)^10,
P(X=1) = binom101(0.01)^1(0.99)^9 = 10cdot0.01cdot(0.99)^9

Passo 4

Agora só calcular:
(0.99)^10approx0.9044,
10cdot0.01cdot(0.99)^9approx0.0914
Somando dá ≈0.9958, então
P(X>1)=1-0.9958=0.0042
(ou seja, cerca de 0,42% dos pacotes têm mais de um defeito).

Passo 5

Como vendemos 1000 pacotes, o número esperado de trocas é
1000 times P(X>1) approx 1000 times 0.0042 = 4.2

Resposta

Em média, esperam-se cerca de 4 pacotes devolvidos.

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