Sabe-se que determinada peça produzida por uma fábrica têm probabilidade de 0,01 de apresentar defeitos, independentemente uns dos outros. A fábrica vende as peças em pacotes contendo 10 unidades e oferece uma garantia de devolução se mais de 1 peça em 10 apresentar algum defeito.
Qual a probabilidade de encontrar mais de 1 peça com defeito?
(1,0 ponto)
Qual a probabilidade de encontrar mais de 1 peça com defeito?
(1,0 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com probabilidades, mais especificamente com a distribuição binomial. A gente precisa descobrir qual a probabilidade de encontrar mais de 1 peça com defeito em um pacote de 10 unidades, sabendo que cada peça tem 1% de chance de ter defeito e que as peças são independentes umas das outras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma distribuição binomial, porque temos um número fixo de tentativas (10 peças), cada tentativa tem dois resultados possíveis (defeito ou não defeito), as probabilidades são iguais em cada tentativa, e as tentativas são independentes.
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
- $ P(k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos (peças com defeito).
- $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $ (também escrito como $ \binom{n}{k} $).
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
- $ n $ é o número total de tentativas.
Passo 3
Queremos a probabilidade de mais de 1 defeito, ou seja, $ P(k > 1) $. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de ter no máximo 1 defeito, que é $ P(k \leq 1) $:
Vamos calcular $ P(0) $ e $ P(1) $ usando a fórmula binomial.
Passo 4
Calculando $ P(0) $:
Calculando $ 0.99^{10} $:
Então,
Passo 5
Calculando $ P(1) $:
Calculando $ 0.99^{9} $:
Então,
Passo 6
Agora, somando $ P(0) $ e $ P(1) $:
Passo 7
Finalmente, a probabilidade de ter mais de 1 defeito é:
Resposta
A probabilidade de encontrar mais de 1 peça com defeito é de aproximadamente 0,425%.