Sabe-se que determinado jogador de basquete acerta, em média, 59 % dos seus lances livres, sendo cada tentativa independente das demais. Qual é a probabilidade de que ele tenha êxito em pelo menos metade das vezes em 52 lances livres? (Não utilizar correção de continuidade na aproximação da distribuição Binomial pela distribuição Normal.)
P=0,59 times 52=30,68
a. 0.047
b. 0.644
p>26
c. 0.560
d. 0.907
e. 0.093

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente sabe que um jogador de basquete acerta, em média, 59% dos seus lances livres. Ele vai tentar 52 lances, e cada lance é independente dos outros. A pergunta é: qual a chance dele acertar pelo menos metade desses lances, ou seja, 26 ou mais? Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é útil quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas opções (acertar ou errar), e queremos calcular a probabilidade de um certo número de sucessos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da Distribuição Binomial:
  • n (número de tentativas) = 52
  • p (probabilidade de sucesso em cada tentativa) = 0,59
  • k (número de sucessos desejados) ≥ 26

Passo 3

A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos ter k sucessos em n tentativas.

Passo 4

Como queremos a probabilidade de ter pelo menos 26 acertos, vamos somar as probabilidades de 26 até 52 acertos:
P(X >= 26) = sumk=26^52 binom52k times 0,59^k times 0,41^52-k

Passo 5

Calcular isso diretamente pode ser trabalhoso, então podemos usar uma aproximação pela Distribuição Normal, já que n é grande e p não é muito próximo de 0 ou 1. A média ( mu) e o desvio padrão ( sigma) da distribuição binomial são dados por:
mu = n times p = 52 times 0,59 = 30,68
sigma = raizn times p times (1-p) = raiz52 times 0,59 times 0,41 approx 3,35

Passo 6

Agora, padronizamos o valor de 26 para a distribuição normal:
Z = X - musigma = 26 - 30,683,35 approx -1,39

Passo 7

Consultando uma tabela de valores da distribuição normal, ou usando uma calculadora, encontramos a probabilidade correspondente a Z = -1,39. Essa probabilidade representa P(X <= 26). Mas como queremos P(X >= 26), fazemos:
P(X >= 26) = 1 - P(X < 26) approx 1 - 0,0823 = 0,9177

Resposta

A probabilidade de que o jogador acerte pelo menos metade dos 52 lances livres é aproximadamente 0,907, ou seja, 90,7%.

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