Sabe-se que determinado jogador de basquete acerta, em média,
dos seus lances livres, sendo cada tentativa independente das demais. Qual é a probabilidade de que ele tenha êxito em pelo menos metade das vezes em 52 lances livres? (Não utilizar correção de continuidade na aproximação da distribuição Binomial pela distribuição Normal.)
a. 0.047
b. 0.644
c. 0.560
d. 0.907
e. 0.093
b. 0.644
d. 0.907
e. 0.093
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente sabe que um jogador de basquete acerta, em média, 59% dos seus lances livres. Ele vai tentar 52 lances, e cada lance é independente dos outros. A pergunta é: qual a chance dele acertar pelo menos metade desses lances, ou seja, 26 ou mais? Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é útil quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas opções (acertar ou errar), e queremos calcular a probabilidade de um certo número de sucessos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da Distribuição Binomial:
- n (número de tentativas) = 52
- p (probabilidade de sucesso em cada tentativa) = 0,59
- k (número de sucessos desejados) ≥ 26
Passo 3
A fórmula da Distribuição Binomial é:
Onde
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos ter k sucessos em n tentativas.
Passo 4
Como queremos a probabilidade de ter pelo menos 26 acertos, vamos somar as probabilidades de 26 até 52 acertos:
Passo 5
Calcular isso diretamente pode ser trabalhoso, então podemos usar uma aproximação pela Distribuição Normal, já que n é grande e p não é muito próximo de 0 ou 1. A média (
) e o desvio padrão (
) da distribuição binomial são dados por:
Passo 6
Agora, padronizamos o valor de 26 para a distribuição normal:
Passo 7
Consultando uma tabela de valores da distribuição normal, ou usando uma calculadora, encontramos a probabilidade correspondente a Z = -1,39. Essa probabilidade representa
. Mas como queremos
, fazemos:
Resposta
A probabilidade de que o jogador acerte pelo menos metade dos 52 lances livres é aproximadamente 0,907, ou seja, 90,7%.