Sabe-se que existe uma relação de inclusão entre alguns dos conjuntos numéricos devido aos elementos que pertencem a eles. A respeito dessa relação, responda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta brevemente e com suas palavras.
O conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números inteiros.
O conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números inteiros.
Passo 1
O enunciado pergunta se vale a pena falar que
“O conjunto dos números reais ( ) é a união do conjunto dos racionais (
) com o conjunto dos inteiros (
)”.
Conteúdo: teoria de conjuntos e hierarquia dos conjuntos numéricos.
Para resolver, a gente vai precisar:
– Saber o que são (inteiros),
(racionais),
(reais) e também lembrar dos irracionais.
– Entender inclusão e união de conjuntos.
“O conjunto dos números reais (
Conteúdo: teoria de conjuntos e hierarquia dos conjuntos numéricos.
Para resolver, a gente vai precisar:
– Saber o que são
– Entender inclusão e união de conjuntos.
Passo 2
Definições básicas:
– = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}
– = todos os números que podem ser escritos como
, com
e
.
– = todos os números “na reta”, isto é, racionais + irracionais (como
etc.).
Teoria usada: se , então
.
–
–
–
Teoria usada: se
Passo 3
Repara que todo inteiro é um racional (por exemplo,
).
Logo
.
Então
,
porque a união com um subconjunto não acrescenta nada novo.
Logo
Então
porque a união com um subconjunto não acrescenta nada novo.
Passo 4
Mas a reta dos reais não é só composta por racionais.
Existem números irracionais, como ,
,
, que não estão em
nem em
.
Ou seja,
.
E como , faltam justamente os irracionais para alcançar
.
Existem números irracionais, como
Ou seja,
E como
Resposta
A afirmação é FALSA, pois