Sabe-se que existe uma relação de inclusão entre alguns dos conjuntos numéricos devido aos elementos que pertencem a eles. A respeito dessa relação, responda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta brevemente e com suas palavras.
O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais possuem interseç̧ão não vazia.
O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais possuem interseç̧ão não vazia.
Passo 1
Beleza, o que o enunciado tá pedindo é: “O conjunto dos números racionais e o conjunto dos irracionais têm interseção não vazia?” Isso é um problema de teoria de conjuntos dentro da parte de números reais, lá na aula sobre tipos de números (naturais, inteiros, racionais, irracionais). Para resolver, a gente vai precisar das definições de número racional e de número irracional, e do conceito de interseção de conjuntos.
Passo 2
Definição de número racional: é todo número que pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Exemplo clássico:
,
,
.
Definição de número irracional: é todo número que não pode ser escrito como com
inteiros. Exemplos famosos:
,
,
.
Definição de número irracional: é todo número que não pode ser escrito como
Interseção de conjuntos
e
, denotada
, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao mesmo tempo a
e a
.
Passo 3
A gente vê que, pela definição, um racional sempre cabe em forma de fração
e um irracional nunca cabe nessa forma. Não existe nenhum número que, simultaneamente, seja e não seja representável como fração de inteiros.
Em outras palavras, se um número está em
(racionais), ele não pode estar em
(irracionais), e vice-versa.
Passo 4
Logo, não existe nenhum elemento que seja dos dois conjuntos ao mesmo tempo. Então a interseção
é o conjunto vazio, ou seja, não tem nenhum elemento.
Resposta
A afirmação é falsa, pois
.