Sabe-se que existe uma relação de inclusão entre alguns dos conjuntos numéricos devido aos elementos que pertencem a eles. A respeito dessa relação, responda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta brevemente e com suas palavras.
O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais possuem interseç̧ão não vazia.

Passo 1

Beleza, o que o enunciado tá pedindo é: “O conjunto dos números racionais e o conjunto dos irracionais têm interseção não vazia?” Isso é um problema de teoria de conjuntos dentro da parte de números reais, lá na aula sobre tipos de números (naturais, inteiros, racionais, irracionais). Para resolver, a gente vai precisar das definições de número racional e de número irracional, e do conceito de interseção de conjuntos.

Passo 2

Definição de número racional: é todo número que pode ser escrito como uma fração , onde e são inteiros e . Exemplo clássico: , , .
Definição de número irracional: é todo número que não pode ser escrito como com inteiros. Exemplos famosos: , , .
Interseção de conjuntos e , denotada , é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao mesmo tempo a e a .

Passo 3

A gente vê que, pela definição, um racional sempre cabe em forma de fração e um irracional nunca cabe nessa forma. Não existe nenhum número que, simultaneamente, seja e não seja representável como fração de inteiros.
Em outras palavras, se um número está em (racionais), ele não pode estar em (irracionais), e vice-versa.

Passo 4

Logo, não existe nenhum elemento que seja dos dois conjuntos ao mesmo tempo. Então a interseção
Q cap I
é o conjunto vazio, ou seja, não tem nenhum elemento.

Resposta

A afirmação é falsa, pois .

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