Sabe-se que f(x)=cos x, x in[0,2 pi]. Mostre que;
f(2 x)=2 f^2(x)-1;

Passo 1

Temos a função f definida por f(x)= cos x para x em [0,2π] e precisamos mostrar que f(2x)=2 f²(x)−1. O conteúdo usado será a fórmula de adição de ângulos para o cosseno e a identidade pitagórica.

Passo 2

Usamos a fórmula de soma de cossenos:
cos(a+b)=cos acos b - sin asin b
Aplicando com a=b=x, obtemos:
cos(2x)=cos xcos x - sin xsin x=cos²x-sin²x²²

Passo 3

Empregamos a identidade pitagórica sin²x+cos²x=1²², logo sin²x=1-cos²x²². Substituindo:
cos(2x)=cos²x-(1-cos²x)=2cos²x-1²²²

Passo 4

Como f(x)= cos x, temos f²(x)= cos²x². Portanto: f(2x)=2f²(x)−1.

Resposta

f(2x)=2f^{2}(x)-1

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