Prove que se
f(x)=a x+b, a, b- constantes,
e os números x1, x2, x3 formam uma progresão aritmética, então os números f(x1), f(x2) e f(x3) também formam uma progressão aritmética.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=a x+b,
com a e b constantes, e afirma que x1,x2,x3 estão em progressão aritmética. Queremos mostrar que então f(x1),f(x2),f(x3) também formam progressão aritmética.

Passo 2

Pela definição de progressão aritmética, x1,x2,x3 formam PA se, e somente se,
2x2=x1+x3

Passo 3

Vamos comparar f(x1)+f(x3) e 2f(x2).
Calculamos
f(x1)+f(x3) = l(a x1+br) + l(a x3+br) = a(x1+x3) + 2b
e também
2f(x2) = 2l(a x2+br) = 2a x2 + 2b
Como 2x2=x1+x3, temos
a(x1+x3) + 2b = 2a x2 + 2b,
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f(x1)+f(x3) = 2f(x2)

Passo 4

A igualdade
f(x1)+f(x3) = 2f(x2)
é exatamente a condição de que f(x1),f(x2),f(x3) formem progressão aritmética (pois significa f(x2)=tfracf(x1)+f(x3)2).

Resposta

Logo, os números f(x1),f(x2),f(x3) formam uma progressão aritmética.

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