Determine os limites se existirem:
lim x pi2(sec x-tan x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtopi2(sec x-tan x).
O conteúdo usado será manipulação algébrica de funções trigonométricas e análise de comportamento de limite em pontos de descontinuidade de sec x e tan x.

Passo 2

Usamos a técnica de multiplicar e dividir pelo conjugado de sec x-tan x:
sec x-tan x =(sec x-tan x)(sec x+tan x)sec x+tan x =sec^2 x-tan^2 xsec x+tan x =1sec x+tan x,
pois sec^2 x-tan^2 x=1.

Passo 3

Agora analisamos o denominador quando xtopi2:
– Para xtopi2^-, cos xto0^+ implica sec xto+infty e tan xto+infty, logo sec x+tan xto+infty e
1sec x+tan xto0
– Para xtopi2^+, cos xto0^- implica sec xto-infty e tan xto-infty, logo sec x+tan xto-infty e
1sec x+tan xto0

Passo 4

Como em ambos os lados o valor da expressão tende a 0, o limite bilateral existe e vale 0.

Resposta

0

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