Sabe-se que uma indústria elétrica fabrica lâmpadas com vida útil que tem distribuição Normal com desvio padrão populacional de 40 horas. Uma amostra de 30 lâmpadas apresenta média amostral de 780 horas.
Qual é o tamanho amostral para que, com 96 % de confiança, a diferença em valor absoluto entre a média amostral ( barX ) e a média populacional ( mu ) seja menor do que 10 horas?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o enunciado: uma fábrica de lâmpadas tem vida útil Normal com desvio‐padrão populacional σ = 40 h. Queremos saber qual deve ser o tamanho da amostra n para que, com 96% de confiança, a diferença em valor absoluto entre a média amostral bar X e a média real μ seja menor que 10 h.
Conteúdo: estimativa de tamanho de amostra para média com σ conhecido (inferência para a média em distribuição Normal).
O que vamos precisar:
  • Definir o nível de significância α e achar o z‐crítico;
  • Fórmula da margem de erro para média: E = z1-α2,σraiz n;
  • Isolar n nessa fórmula e arredondar pra cima.

Passo 2

Primeiro, o nível de confiança é 96%, então α = 1 – 0.96 = 0.04 e α/2 = 0.02.
Precisamos do valor crítico
z1-tfracα2 = z0.98
que, consultando tabela Normal ou calculadora, dá aproximadamente
z0.98 approx 2,0537

Passo 3

A margem de erro E é dada por
E = z1-tfracα2,σraiz n
Queremos que E < 10. Substituindo σ = 40 e z1-tfracα2 ≈ 2,0537, temos
$$10 = 2{,}0537,\frac{40}{\sqrt n}} \quad\Longrightarrow\quad
\sqrt n = \frac{2{,}0537 \times 40}{10} = 8{,}2148. 10 = 2,0537,40raiz n Longrightarrow raiz n = 2,0537 times 4010 = 8,2148n = (8{,}2148)^2 \approx 67{,}47.$$
Como n tem que ser inteiro e garantir a margem, a gente arredonda para cima.

Resposta

O tamanho mínimo da amostra é n = 68 lâmpadas.

Exercícios relacionados