Suponha que X1, X2, ldots, Xn sejam réplicas i.i.d de uma variável X com distribuição uniforme sobre o conjunto 1,2,3,4,5,6. Defina a média amostral como
barX=1n sumi=1^n Xi
Determine a média e a variância de barX;

Passo 1

Opa! Então o enunciado diz que temos bar X = tfrac1nsumi=1^n Xi i.i.d. (ou seja, mutuamente independentes e todas com a mesma distribuição) uniformes no conjunto . A média amostral é
O que a gente quer achar é:
  1. (a esperança da média amostral)
  2. (a variância da média amostral)
Para isso, vamos precisar da fórmula da esperança de uma variável discreta e da fórmula da variância (especialmente da propriedade de independência e da regra de variância de escala).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar e calcular a esperança de uma única E[X] = sumk=1^6 kcdot tfrac16 = tfrac16(1+2+3+4+5+6) = tfrac16cdot 21 = 3,5 , que é uniforme em .
  • Teoria: para variável discreta com valores e probabilidade ,
    .
  • No nosso caso cada face tem probabilidade . Então

Passo 3

Agora a variância de uma única Var(X) = tfrac916 - (3,5)^2 = tfrac916 - 12,25 = tfrac91 - 73,56 = tfrac17,56 = tfrac3512 .
  • Teoria: .
  • Primeiro
  • Já sabemos , então

Passo 4

Hora da esperança da média amostral E[bar X] = El[tfrac1nsumi=1^n Xir] = tfrac1nsumi=1^n E[Xi] = tfrac1n ,n,E[X] = E[X] = 3,5 .
  • Teoria: esperança é linear e .

Passo 5

Agora a variância de Var(bar X) = Varl(tfrac1nsumi=1^n Xir) = tfrac1n^2sumi=1^n Var(Xi) = tfrac1n^2,n,Var(X) = tfrac1n,Var(X) = tfrac1ncdot tfrac3512 = 3512,n .
  • Teoria: se são independentes, , e .

Resposta

boxedE[bar X] = 3,5 e Var(bar X) = 3512,n

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