Suponha que
sejam réplicas i.i.d de uma variável
com distribuição uniforme sobre o conjunto
. Defina a média amostral como
Determine a média e a variância de
;
Passo 1
Opa! Então o enunciado diz que temos
i.i.d. (ou seja, mutuamente independentes e todas com a mesma distribuição) uniformes no conjunto
. A média amostral é
O que a gente quer achar é:
-
(a esperança da média amostral) -
(a variância da média amostral)
Para isso, vamos precisar da fórmula da esperança de uma variável discreta e da fórmula da variância (especialmente da propriedade de independência e da regra de variância de escala).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar e calcular a esperança de uma única
, que é uniforme em
.
- Teoria: para variável discreta
com valores e probabilidade ,
. - No nosso caso cada face
tem probabilidade . Então
Passo 3
Agora a variância de uma única
.
- Teoria:
. - Primeiro
- Já sabemos
, então
Passo 4
Hora da esperança da média amostral
.
- Teoria: esperança é linear e
.
Passo 5
Agora a variância de
.
- Teoria: se
são independentes, , e .