Sabe-se que o limite de escoamento do titânio é de 450 MPa com um tamanho de grão de 17 mu m e de 565 MPa com um tamanho de grão de 0,8 mu m. Determine: b. O limite de escoamento do titânio quando o tamanho de grão é reduzido para 0,2 um.

Passo 1

Vamos lá! Temos um problema sobre o limite de escoamento do titânio em relação ao tamanho de grão. O limite de escoamento é a tensão máxima que um material pode suportar antes de começar a deformar permanentemente. Para resolver isso, vamos usar a equação de Hall-Petch, que relaciona o limite de escoamento com o tamanho de grão.

Passo 2

A equação de Hall-Petch é dada por:
sigmay = sigma0 + k cdot d^-1/2
Onde:
  • sigmay é o limite de escoamento,
  • sigma0 é o limite de escoamento do material sem considerar o tamanho de grão,
  • k é a constante de Hall-Petch,
  • d é o tamanho de grão.

Passo 3

Temos duas situações:
  1. Quando d = 17 , mu m, sigmay = 450 , MPa.
  2. Quando d = 0,8 , mu m, sigmay = 565 , MPa.
Vamos usar essas duas equações para encontrar sigma0 e k.

Passo 4

Primeiro, escrevemos as duas equações:
450 = sigma0 + k cdot (17)^-1/2
565 = sigma0 + k cdot (0,8)^-1/2

Passo 5

Calculamos os termos (17)^-1/2 e (0,8)^-1/2:
(17)^-1/2 = 1raiz17 approx 0,2425
(0,8)^-1/2 = 1raiz0,8 approx 1,1180

Passo 6

Substituímos esses valores nas equações:
450 = sigma0 + 0,2425k (1)
565 = sigma0 + 1,1180k (2)

Passo 7

Subtraímos a equação (1) da equação (2) para eliminar sigma0:
565 - 450 = ( sigma0 + 1,1180k ) - ( sigma0 + 0,2425k )
115 = 0,8755k

Passo 8

Resolvemos para k:
k = 1150,8755 approx 131,40 , MPa cdot mu m^1/2

Passo 9

Agora, substituímos k na equação (1) para encontrar sigma0:
450 = sigma0 + 0,2425 times 131,40
450 = sigma0 + 31,88
sigma0 = 450 - 31,88 approx 418,12 , MPa

Passo 10

Agora que temos sigma0 e k, podemos encontrar o limite de escoamento para d = 0,2 , mu m:
sigmay = 418,12 + 131,40 times (0,2)^-1/2

Passo 11

Calculamos (0,2)^-1/2:
(0,2)^-1/2 = 1raiz0,2 approx 2,2361

Passo 12

Substituímos na equação:
sigmay = 418,12 + 131,40 times 2,2361
sigmay = 418,12 + 294,10
sigmay approx 712,22 , MPa

Resposta

O limite de escoamento do titânio quando o tamanho de grão é reduzido para 0,2 , mu m é aproximadamente 712,22 MPa.

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