Sabe-se que a média dos preços de certo produto, nos estabelecimentos comerciais de uma região, é de \mathrm{R} 78,00com desvio padrão de\mathrm{R} 12,00. Se uma amostra de 100 estabelecimentos dessa região for sorteada para avaliar o preço desse produto, qual é a probabilidade de que a média dessa amostra:
Seja superior a \mathrm{R} 80,00$ ?
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte:
Média populacional do preço: \mu = 78.
Desvio padrão populacional: \sigma = 12.
Tamanho da amostra: n = 100.
Pergunta: qual é a probabilidade de que a média amostral \overline{X} seja superior a \mathrm{R}\$\,80,00; isto é, calcular \mathbb{P}\big(\overline{X} > 80\big).
Passo 2
Entendendo o que usamos para resolver (conceito importante, explicado de forma simples).
Quando tiramos uma amostra aleatória grande de uma população, a distribuição da média amostral \overline{X} tende a ser aproximadamente normal — isso vem do Teorema Central do Limite (TCL). Aqui n=100 é grande, então podemos aplicar essa aproximação com segurança.
A média da distribuição de \overline{X} é a própria média populacional \mu.
O desvio-padrão da distribuição de \overline{X} (chamado erro padrão) é \sigma_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Em símbolos: \overline{X}\approx N\!\left(\mu,\; \sigma_{\overline{X}}^{2}\right) com \sigma_{\overline{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui: \mu é o valor médio real dos preços na população, \sigma é o desvio-padrão real dos preços, n é o número de estabelecimentos amostrados, e \overline{X} é a média observada na amostra.
Em porcentagem: 0{,}0478\times100\%\approx4{,}78\%.
Passo 7
Interpretação final e incentivo rápido: a chance de, ao sortear 100 estabelecimentos, a média amostral ser maior que \mathrm{R}\$\,80,00 é relativamente pequena, cerca de 4{,}8\%. Vai dar certo — repete esse tipo de exercício mais umas vezes e isso vai ficar moleza!