Sabe-se que a média dos preços de certo produto, nos estabelecimentos comerciais de uma região, é de \mathrm{R} 78,00 com desvio padrão deã\mathrm{R} 12,00. Se uma amostra de 100 estabelecimentos dessa região for sorteada para avaliar o preço desse produto, qual é a probabilidade de que a média dessa amostra:
Seja superior a \mathrm{R} 80,00$ ?

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte:
  • Média populacional do preço: \mu = 78.
  • Desvio padrão populacional: \sigma = 12.
  • Tamanho da amostra: n = 100.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que a média amostral \overline{X} seja superior a \mathrm{R}\$\,80,00; isto é, calcular \mathbb{P}\big(\overline{X} > 80\big).

Passo 2

Entendendo o que usamos para resolver (conceito importante, explicado de forma simples).
  • Quando tiramos uma amostra aleatória grande de uma população, a distribuição da média amostral \overline{X} tende a ser aproximadamente normal — isso vem do Teorema Central do Limite (TCL). Aqui n=100 é grande, então podemos aplicar essa aproximação com segurança.
  • A média da distribuição de \overline{X} é a própria média populacional \mu.
  • O desvio-padrão da distribuição de \overline{X} (chamado erro padrão) é \sigma_{\overline{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Em símbolos: \overline{X}\approx N\!\left(\mu,\; \sigma_{\overline{X}}^{2}\right) com \sigma_{\overline{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Aqui: \mu é o valor médio real dos preços na população, \sigma é o desvio-padrão real dos preços, n é o número de estabelecimentos amostrados, e \overline{X} é a média observada na amostra.

Passo 3

Calcular o erro padrão \sigma_{\overline{X}}:
\sigma_{\overline{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{12}{\sqrt{100}}=\dfrac{12}{10}=1,2.
Portanto a distribuição aproximada de \overline{X} é N\!\big(78,\;1{,}2^{2}\big).

Passo 4

Transformar o problema em uma probabilidade padrão (usar a variável Z da normal padrão).
Queremos
\mathbb{P}\big(\overline{X}>80\big)=\mathbb{P}\!\left(Z>\dfrac{80-\mu}{\sigma_{\overline{X}}}\right),
onde Z\sim N(0,1). Substituindo os valores:
\dfrac{80-\mu}{\sigma_{\overline{X}}}=\dfrac{80-78}{1{,}2}=\dfrac{2}{1{,}2}=\dfrac{5}{3}\approx1{,}666\ldots
Logo
\mathbb{P}\big(\overline{X}>80\big)=\mathbb{P}\big(Z>1{,}666\ldots\big)=1-\Phi\!\left(1{,}666\ldots\right),
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 5

Encontrar \Phi\!\left(1{,}666\ldots\right) (uso de tabela ou calculadora).
  • Valores conhecidos na tabela: \Phi(1{,}66)=0{,}9515 e \Phi(1{,}67)=0{,}9525.
  • Interpolando para 1{,}666\ldots (diferença relativa 0{,}666\ldots entre 1{,}66 e 1{,}67):
\Phi(1{,}666\ldots)\approx 0{,}9515 + 0{,}666\ldots\times(0{,}9525-0{,}9515) =0{,}9515 + 0{,}666\ldots\times0{,}0010\approx0{,}95217.
Arredondando razoavelmente: \Phi(1{,}666\ldots)\approx0{,}9522.

Passo 6

Calcular a probabilidade buscada:
\mathbb{P}\big(\overline{X}>80\big)=1-\Phi(1{,}666\ldots)\approx 1-0{,}9522=0{,}0478.
Em porcentagem: 0{,}0478\times100\%\approx4{,}78\%.

Passo 7

Interpretação final e incentivo rápido: a chance de, ao sortear 100 estabelecimentos, a média amostral ser maior que \mathrm{R}\$\,80,00 é relativamente pequena, cerca de 4{,}8\%. Vai dar certo — repete esse tipo de exercício mais umas vezes e isso vai ficar moleza!

Resposta

0,0478 (ou seja, aproximadamente 4,78\%)

Exercícios relacionados