Sejam U=[lla & b c & d] rvert, a=d e b=c e V=[lla & b c & d] rvert, a=c e b=d subespaços vetoriais de M2(R).
a) Determine U+V.
b) U+V é soma direta? Justifique.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de :
e
.
Queremos achar a soma e verificar se ela é direta.

Passo 2

Escrevemos um elemento genérico de U:
a & b b & a
e um elemento genérico de V:
c & d c & d

Passo 3

A soma de uma matriz de U com uma de V é
a & b b & a + c & d c & d = a+c & b+d b+c & a+d
Assim, todo elemento de U+V tem essa forma.

Passo 4

Seja
Então existem tais que
Daí
logo
E essa condição também basta para escrever como soma de algo em e algo em . Portanto

Passo 5

Para saber se a soma é direta, calculamos . Se
está em , então
daí . Logo
que é de dimensão 1 e contém vetores não nulos. Assim não é soma direta.

Resposta

a)
b) Não. De fato , logo a soma não é direta.

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