Sejam
e
b=c e
V=[lla & b c & d] rvert, a=c e
b=d subespaços vetoriais de
M2(R) .
a) Determine
U+V .
b)
U+V é soma direta? Justifique.
a) Determine
b)
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
:
e
.
Queremos achar a soma e verificar se ela é direta.
e
.
Queremos achar a soma
Passo 2
Escrevemos um elemento genérico de
U :
e um elemento genérico de
V :
Passo 3
A soma de uma matriz de
U com uma de
V é
Assim, todo elemento de
U+V tem essa forma.
Passo 4
Seja
Então existem
tais que
Daí
logo
E essa condição também basta para escrever
como soma de algo em
e algo em
. Portanto
Passo 5
Para saber se a soma é direta, calculamos
. Se
está em , então
está em
daí
. Logo
que é de dimensão 1 e contém vetores não nulos. Assim
não é soma direta.
Resposta
a)
b) Não. De fato , logo a soma não é direta.
b) Não. De fato