Sabe-se que uma partícula move-se segundo a equação S(t)=\frac{1}{3} t^{3}+\frac{1}{2} t^{2}+t-2, onde t é o tempo em segundos e S é a posição em metros. Pode-se afirmar que a aceleração da partícula, quando t=2 s, é
(e) \quad 10 m / s^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
S(t)=\frac{1}{3}t^{3}+\frac{1}{2}t^{2}+t-2,
onde t está em segundos e S em metros. A pergunta é: qual é a aceleração da partícula quando t=2\\ \text{s}?
Informações relevantes que temos:
  • A função posição S(t) está explicitada acima.
  • Quer-se a aceleração no instante t=2.

Passo 2

Lembrete (fórmulas básicas que vamos usar):
  • A velocidade v(t) é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{dS}{dt}.
  • A aceleração a(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}S}{dt^{2}}.
Aqui t é a variável tempo (em segundos), S(t) é posição (em metros), v(t) é velocidade (em \mathrm{m}/\mathrm{s}) e a(t) é aceleração (em \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}).

Passo 3

Regra de derivação que vamos aplicar (regra do poder / power rule):
Se f(t)=t^{n} com n constante, então
\frac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}.
Além disso, a derivada de uma constante é zero, e a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Exemplos rápidos:
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^{3}\right)=\frac{1}{3}\cdot 3t^{2}=t^{2}, \qquad \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}t^{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot 2t=t, \qquad \frac{d}{dt}(t)=1, \qquad \frac{d}{dt}(-2)=0.

Passo 4

Calcular a velocidade v(t)=S'(t) aplicando as derivadas termo a termo:
v(t)=\frac{dS}{dt}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{3}t^{3}\right)+\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}t^{2}\right)+\frac{d}{dt}(t)-\frac{d}{dt}(2).
Usando as contas do passo anterior:
v(t)=t^{2}+t+1.

Passo 5

Calcular a aceleração a(t)=v'(t)=S''(t) derivando v(t):
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\!\left(t^{2}+t+1\right)=2t+1.
Expliquei: a derivada de t^{2} é 2t, de t é 1, e de 1 é 0.

Passo 6

Avaliar a aceleração em t=2\\ \text{s}:
a(2)=2\cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5.
Portanto a aceleração no instante t=2\\ \text{s} é 5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Resposta

5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}

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