Um tanque em forma de cone circular de altura h encontra-se com vértice para baixo e com eixo na vertical. Esse tanque, quando completamente cheio, comporta 6000 litros de água. O volume de água, quando o nível está a 1 / 4 da altura, é igual a
(e) 1250 litros.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá: um tanque em forma de cone circular de altura \,h\,, vértice para baixo e eixo vertical.
  • Dá: quando o tanque está completamente cheio, o volume é \,6000\, litros.
  • Pede: o volume de água quando o nível está a \tfrac{1}{4} da altura (ou seja, a profundidade da água é \tfrac{1}{4}h).
Resumo objetivo: calcular o volume de água correspondente a uma altura da coluna de água \,y=\tfrac{1}{4}h, sabendo que o volume total (para y=h) é \,6000\, litros.

Passo 2

Fórmula do volume de um cone e significado das variáveis.
A fórmula do volume de um cone circular reto é
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}H,
onde:
  • \,V\, é o volume do cone,
  • \,r\, é o raio da base do cone,
  • \,H\, é a altura do cone.
No nosso tanque cheio temos o volume total
V_{\text{total}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}h,
onde \,R\, é o raio da base do tanque quando cheio e \,h\, é a altura do tanque. Sabemos que \,V_{\text{total}}=6000\, litros.

Passo 3

Relação entre o raio da superfície da água e a altura da água (semelhança de triângulos).
Se a água atinge altura \,y\, (medida a partir do vértice), o raio da superfície da água chama-se \,r(y). Pela geometria do cone (linhas geratrizes formando triângulos semelhantes), a razão entre raio e altura é constante:
\frac{r(y)}{y}=\frac{R}{h}.
Portanto
r(y)=\frac{y}{h}\,R.

Passo 4

Expressar o volume da água em função do volume total usando a relação de semelhança.
O volume da porção de água até altura \,y\, é o volume de um cone de raio \,r(y) e altura \,y:
V(y)=\frac{1}{3}\pi \bigl(r(y)\bigr)^{2}y.
Substituindo \,r(y)=\dfrac{y}{h}R\, e lembrando que \dfrac{1}{3}\pi R^{2}h=V_{\text{total}}, calculamos:
V(y)=\frac{1}{3}\pi \left(\frac{y}{h}R\right)^{2}y =\frac{1}{3}\pi R^{2}h\cdot\left(\frac{y^{3}}{h^{3}}\right) =V_{\text{total}}\cdot\left(\frac{y}{h}\right)^{3}.
Ou seja, o volume escala com o cubo da razão das alturas.

Passo 5

Aplicar ao caso \,y=\tfrac{1}{4}h\,.
Substituindo \,y=\tfrac{1}{4}h\, na fórmula anterior:
V\!\left(\tfrac{1}{4}h\right)=V_{\text{total}}\left(\frac{1}{4}\right)^{3} =V_{\text{total}}\cdot\frac{1}{64}.
Como \,V_{\text{total}}=6000\, litros, temos
V\!\left(\tfrac{1}{4}h\right)=\frac{6000}{64}\\ \text{litros}.
Simplificando:
\frac{6000}{64}=\frac{375}{4}=93{,}75\\ \text{litros}.
Pequena observação motivadora: a razão é pequena porque o raio também diminui quando a altura diminui; por isso o volume cai muito mais rápido (proporcional a (\text{fator de altura})^{3}) — por isso não espere um quarto do volume quando a altura é um quarto.

Resposta

\,93{,}75\\ \text{litros}

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