Um tanque em forma de cone circular de altura
encontra-se com vértice para baixo e com eixo na vertical. Esse tanque, quando completamente cheio, comporta 6000 litros de água. O volume de água, quando o nível está a
da altura, é igual a
(e) 1250 litros.
(e) 1250 litros.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá: um tanque em forma de cone circular de altura
, vértice para baixo e eixo vertical. - Dá: quando o tanque está completamente cheio, o volume é
litros. - Pede: o volume de água quando o nível está a
da altura (ou seja, a profundidade da água é ).
Resumo objetivo: calcular o volume de água correspondente a uma altura da coluna de água
, sabendo que o volume total (para
) é
litros.
Passo 2
Fórmula do volume de um cone e significado das variáveis.
A fórmula do volume de um cone circular reto é
onde:
-
é o volume do cone, -
é o raio da base do cone, -
é a altura do cone.
No nosso tanque cheio temos o volume total
onde
é o raio da base do tanque quando cheio e
é a altura do tanque. Sabemos que
litros.
Passo 3
Relação entre o raio da superfície da água e a altura da água (semelhança de triângulos).
Se a água atinge altura
(medida a partir do vértice), o raio da superfície da água chama-se
. Pela geometria do cone (linhas geratrizes formando triângulos semelhantes), a razão entre raio e altura é constante:
Portanto
Passo 4
Expressar o volume da água em função do volume total usando a relação de semelhança.
O volume da porção de água até altura
é o volume de um cone de raio
e altura
:
Substituindo
e lembrando que
, calculamos:
Ou seja, o volume escala com o cubo da razão das alturas.
Passo 5
Aplicar ao caso
.
Substituindo
na fórmula anterior:
Como
litros, temos
Simplificando:
Pequena observação motivadora: a razão é pequena porque o raio também diminui quando a altura diminui; por isso o volume cai muito mais rápido (proporcional a
) — por isso não espere um quarto do volume quando a altura é um quarto.