O valor da expressão \frac{\left(\frac{27}{64} \cdot 10^{-6}\right)^{1 / 3}}{8^{-4 / 3}} é
(a) 2 \frac{5}{3}.
(b) 3 / 5.
(c) 6 / 25.
(d) 6 / 5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
\frac{\left(\frac{27}{64}\cdot 10^{-6}\right)^{1/3}}{8^{-4/3}}.
Informações dadas:
  • Há uma potência de expoente \tfrac{1}{3} aplicando-se ao produto \dfrac{27}{64}\cdot 10^{-6}.
  • No denominador há 8^{-4/3}.
    O objetivo é simplificar essa expressão e obter um número racional.

Passo 2

Relembrando regras de potências que vamos usar (explicação didática):
  • Regra do produto com potência: \left(ab\right)^c = a^c b^c. Isso permite separar a potência de um produto.
  • Regra da potência de potência: \left(a^b\right)^c = a^{bc}. Útil para manipular bases que já são potências.
  • Regra do produto/divisão por potência negativa: a^{-k}=\dfrac{1}{a^{k}}. Logo dividir por a^{-k} equivale a multiplicar por a^{k}.
    Exemplo simples: \left(4\cdot 9\right)^{1/2}=\sqrt{36}=6, e usando regra: 4^{1/2}\cdot 9^{1/2}=2\cdot 3=6.

Passo 3

Aplicando \left(ab\right)^c = a^c b^c ao numerador:
\left(\frac{27}{64}\cdot 10^{-6}\right)^{1/3} = \left(\frac{27}{64}\right)^{1/3}\cdot \left(10^{-6}\right)^{1/3}.

Passo 4

Calcular \left(\dfrac{27}{64}\right)^{1/3}. Note que 27=3^3 e 64=4^3, então
\left(\frac{27}{64}\right)^{1/3} = \frac{27^{1/3}}{64^{1/3}} = \frac{3}{4}.
Explicação: a raiz cúbica de 27 é 3 porque 3^3=27; a raiz cúbica de 64 é 4 porque 4^3=64.

Passo 5

Calcular \left(10^{-6}\right)^{1/3} usando \left(a^b\right)^c = a^{bc}:
\left(10^{-6}\right)^{1/3} = 10^{-6\cdot(1/3)} = 10^{-2}.
E 10^{-2}=\dfrac{1}{10^{2}}=\dfrac{1}{100}.

Passo 6

Multiplicando os dois resultados do numerador:
\left(\frac{27}{64}\right)^{1/3}\cdot \left(10^{-6}\right)^{1/3} = \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{100} = \frac{3}{400}.
Portanto o numerador simplificado é \dfrac{3}{400}.

Passo 7

Agora o denominador: simplificar 8^{-4/3}.
Escrever 8 como potência de 2: 8=2^3. Aplicando \left(a^b\right)^c=a^{bc}:
8^{-4/3} = (2^3)^{-4/3} = 2^{3\cdot(-4/3)} = 2^{-4}.
E 2^{-4}=\dfrac{1}{2^{4}}=\dfrac{1}{16}.

Passo 8

Dividir o numerador pelo denominador (dividir por \dfrac{1}{16} equivale a multiplicar por 16):
\frac{\dfrac{3}{400}}{\dfrac{1}{16}} = \frac{3}{400}\cdot 16 = \frac{48}{400}.
Simplificando \dfrac{48}{400}: dividir numerador e denominador por 16
\frac{48}{400} = \frac{3}{25}.

Passo 9

Resultado encontrado: \dfrac{3}{25}. Observação: esse valor é o resultado correto da expressão calculada passo a passo.

Resposta

\dfrac{3}{25}

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