O erro de medida de certo aparelho utilizado em um laboratório é normalmente distribuído com média 0
e desvio padrão
.
(a) Qual é a probabilidade de ocorrer um erro de medida entre 0,10 e
?
(b) Encontre um intervalo simétrico em torno da média que contenha
dos possíveis erros.
(c) Em 10 medições independentes, qual é a probabilidade de que no mínimo 4 resultem em medição superior a
?
(a) Qual é a probabilidade de ocorrer um erro de medida entre 0,10 e
(b) Encontre um intervalo simétrico em torno da média que contenha
(c) Em 10 medições independentes, qual é a probabilidade de que no mínimo 4 resultem em medição superior a
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Informações dadas:
- Erro de medida
é normalmente distribuído com média e desvio padrão .
- Erro de medida
- Perguntas:
- (a) Calcular a probabilidade de ocorrer um erro entre
e . - (b) Encontrar um intervalo simétrico em torno da média que contenha
dos possíveis erros. - (c) Em
medições independentes, qual a probabilidade de que, no mínimo, resultem em medição superior a ?
- (a) Calcular a probabilidade de ocorrer um erro entre
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (explicadinho passo a passo):
- Distribuição normal: quando
tem distribuição normal com média e desvio padrão , escrevemos . Aqui e . - Padronização (transformar para a Normal padrão): definimos a variável padrão
por Essa tem distribuição normal padrão . O motivo de padronizar: tabelas ou funções acumuladas da normal padrão são tabuladas/comuns; então para qualquer ,
Vou aplicar isso em (a) e (c).
Passo 3
Resolução do item (a): probabilidade de
.
- Primeiro padronizo os extremos. Como
e , - Então
- Agora usamos valores da tabela da Normal padrão (ou calculadora). Valores típicos:
(estes números vêm da tabela da normal padrão — usei a tabela para obter .) - Subtraindo:
Interpretação: cerca de
das medições caem entre
e
.
Passo 4
Resolução do item (b): intervalo simétrico em torno da média contendo
dos erros.
- Para um intervalo central simétrico em torno da média que contenha
da distribuição normal, queremos os quantis que deixam em cada cauda. Ou seja, cortar abaixo e acima. - O valor crítico correspondente é o quantil
da normal padrão tal que . Valor tabulado: - O intervalo em
será Substituindo e , - Portanto o intervalo simétrico que contém aproximadamente
dos erros é
Explicação rápida do porquê:
central = entre os quantis
e
da normal padrão; o fator
é o z correspondente a
.
Passo 5
Resolução do item (c): em
medições independentes, probabilidade de no mínimo
serem maiores que
.
- Primeiro encontro a probabilidade de uma única medição ser maior que
: - Padronizo:
- Então
- Usando tabela,
. Logo
de chance de exceder . - Padronizo:
- Agora consideramos
, o número de medições (entre as ) que excedem . Como as medições são independentes e cada uma tem probabilidade de “sucesso” (ser > ), temos Queremos . - Cálculo exato usando a Binomial envolveria somar:
Essa soma é perfeitamente correta, mas pode ser um pouco trabalhosa para fazer manualmente com alta precisão. - Observação prática e aproximação útil: quando
é pequeno e não é grande (mas moderado), a distribuição binomial pode ser bem aproximada por uma distribuição de Poisson com parâmetro . Aqui A aproximação Binomial(n,p) Poisson( ) é frequentemente usada quando é pequeno e é razoavelmente grande — aqui ela dá uma aproximação conveniente e bastante boa. - Usando a aproximação de Poisson:
Com calculamos os termos: -
(aprox.), -
, -
, -
.
-
- Somando
a : . - Portanto
Em termos percentuais, cerca de . - Comentário sobre precisão: a aproximação de Poisson dá um valor prático e fácil de calcular à mão; o valor exato pela soma binomial dará número muito próximo (mesma ordem de grandeza, tipicamente algumas unidades na terceira casa decimal). Para propósitos de prova/estimação,
(ou ) é aceitável e informativo.
Resposta
(a)
(b)
(c)