O erro de medida de certo aparelho utilizado em um laboratório é normalmente distribuído com média 0 \mathrm{mg} / \mathrm{mL} e desvio padrão 0,2 \mathrm{mg} / \mathrm{mL}.
(a) Qual é a probabilidade de ocorrer um erro de medida entre 0,10 e 0,15 \mathrm{mg} / \mathrm{mL} ?
(b) Encontre um intervalo simétrico em torno da média que contenha 95 \% dos possíveis erros.
(c) Em 10 medições independentes, qual é a probabilidade de que no mínimo 4 resultem em medição superior a 0,3 \mathrm{mg} / \mathrm{mL} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informações dadas:
    • Erro de medida X é normalmente distribuído com média \mu=0\\ \mathrm{mg/mL} e desvio padrão \sigma=0,2\\ \mathrm{mg/mL}.
  • Perguntas:
    • (a) Calcular a probabilidade de ocorrer um erro entre 0,10 e 0,15\\ \mathrm{mg/mL}.
    • (b) Encontrar um intervalo simétrico em torno da média que contenha 95\% dos possíveis erros.
    • (c) Em 10 medições independentes, qual a probabilidade de que, no mínimo, 4 resultem em medição superior a 0,3\\ \mathrm{mg/mL}?

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicadinho passo a passo):
  • Distribuição normal: quando X tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^{2}). Aqui \mu=0 e \sigma=0,2.
  • Padronização (transformar para a Normal padrão): definimos a variável padrão Z por Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.Essa Z tem distribuição normal padrão N(0,1). O motivo de padronizar: tabelas ou funções acumuladas da normal padrão \Phi(z)=P(Z\le z) são tabuladas/comuns; então para qualquer a,b, P(a\le X\le b)=P\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\le Z\le\frac{b-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).
Vou aplicar isso em (a) e (c).

Passo 3

Resolução do item (a): probabilidade de 0,10\le X\le 0,15.
  • Primeiro padronizo os extremos. Como \mu=0 e \sigma=0,2, \frac{0,10-0}{0,2}=0,5,\qquad \frac{0,15-0}{0,2}=0,75.
  • Então P(0,10\le X\le 0,15)=P(0,5\le Z\le 0,75)=\Phi(0,75)-\Phi(0,5).
  • Agora usamos valores da tabela da Normal padrão (ou calculadora). Valores típicos: \Phi(0,5)\approx 0,6915,\qquad \Phi(0,75)\approx 0,7734.(estes números vêm da tabela da normal padrão — usei a tabela para obter \Phi.)
  • Subtraindo: P(0,10\le X\le 0,15)\approx 0,7734-0,6915=0,0819.
Interpretação: cerca de 8{,}19\% das medições caem entre 0,10 e 0,15\\ \mathrm{mg/mL}.

Passo 4

Resolução do item (b): intervalo simétrico em torno da média contendo 95\% dos erros.
  • Para um intervalo central simétrico em torno da média que contenha 95\% da distribuição normal, queremos os quantis que deixam 2{,}5\% em cada cauda. Ou seja, cortar 2{,}5\% abaixo e 2{,}5\% acima.
  • O valor crítico correspondente é o quantil z_{0,975} da normal padrão tal que \Phi(z_{0,975})=0,975. Valor tabulado: z_{0,975}\approx 1,96.
  • O intervalo em X será \mu \pm z_{0,975}\sigma.Substituindo \mu=0 e \sigma=0,2, 0 \pm 1,96\cdot 0,2 = \pm 0,392.
  • Portanto o intervalo simétrico que contém aproximadamente 95\% dos erros é (-0,392,\;0,392)\\ \mathrm{mg/mL}.
Explicação rápida do porquê: 95\% central = entre os quantis 0{,}025 e 0{,}975 da normal padrão; o fator 1,96 é o z correspondente a 0{,}975.

Passo 5

Resolução do item (c): em n=10 medições independentes, probabilidade de no mínimo 4 serem maiores que 0,3\\ \mathrm{mg/mL}.
  • Primeiro encontro a probabilidade de uma única medição ser maior que 0,3:
    • Padronizo: \displaystyle z=\frac{0,3-0}{0,2}=1,5.
    • Então p:=P(X>0,3)=1-\Phi(1,5).
    • Usando tabela, \Phi(1,5)\approx 0,9332. Logo p\approx 1-0,9332=0,0668.
    Isso quer dizer que cada medição, isoladamente, tem cerca de 6{,}68\% de chance de exceder 0,3.
  • Agora consideramos Y, o número de medições (entre as 10) que excedem 0,3. Como as medições são independentes e cada uma tem probabilidade p de “sucesso” (ser > 0,3), temos Y\sim \text{Binomial}(n=10,p=0,0668).Queremos P(Y\ge 4).
  • Cálculo exato usando a Binomial envolveria somar: P(Y\ge 4)=\sum_{k=4}^{10}\binom{10}{k}p^{k}(1-p)^{10-k}.Essa soma é perfeitamente correta, mas pode ser um pouco trabalhosa para fazer manualmente com alta precisão.
  • Observação prática e aproximação útil: quando p é pequeno e n não é grande (mas np moderado), a distribuição binomial pode ser bem aproximada por uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=np. Aqui \lambda = np = 10\cdot 0,0668 \approx 0,668.A aproximação Binomial(n,p) \approx Poisson( \lambda) é frequentemente usada quando p é pequeno e n é razoavelmente grande — aqui ela dá uma aproximação conveniente e bastante boa.
  • Usando a aproximação de Poisson: P(Y\ge4)\approx 1-\sum_{k=0}^{3} e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.Com \lambda=0,668 calculamos os termos:
    • e^{-\lambda}\approx e^{-0,668}\approx 0,513 (aprox.),
    • e^{-\lambda}\lambda\approx 0,513\cdot 0,668\approx 0,343,
    • e^{-\lambda}\frac{\lambda^{2}}{2!}\approx 0,513\cdot\frac{0,668^{2}}{2}\approx 0,114,
    • e^{-\lambda}\frac{\lambda^{3}}{3!}\approx 0,513\cdot\frac{0,668^{3}}{6}\approx 0,025.
  • Somando k=0 a 3: 0,513+0,343+0,114+0,025\approx 0,995.
  • Portanto P(Y\ge4)\approx 1-0,995\approx 0,005.Em termos percentuais, cerca de 0{,}5\%.
  • Comentário sobre precisão: a aproximação de Poisson dá um valor prático e fácil de calcular à mão; o valor exato pela soma binomial dará número muito próximo (mesma ordem de grandeza, tipicamente algumas unidades na terceira casa decimal). Para propósitos de prova/estimação, 0,005 (ou 0,5\%) é aceitável e informativo.

Resposta

(a) 0,0819
(b) (-0,392,\;0,392)\\ \mathrm{mg/mL}
(c) 0,005

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