Sabe-se que em uma população, a altura dos homens adultos tem distribuição normal com média 175 cm e desvio padrão 20 cm , enquanto que a das mulheres é também normal com média 160 cm e desvio padrão 10 cm .
Sorteando-se aleatoriamente dessa população uma mulher, qual é a probabilidade de sua altura ser superior a 150 cm ?
Sorteando-se aleatoriamente dessa população uma mulher, qual é a probabilidade de sua altura ser superior a 150 cm ?
Passo 1
O enunciado sorteia aleatoriamente uma mulher dessa população e pede a probabilidade de sua altura ser superior a
. Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos representar a altura da mulher por uma variável aleatória
. Pelo enunciado,
tem distribuição normal com média
e desvio padrão
. Escrevemos isso assim:
O que nos pedem é calcular
Para resolver esse tipo de probabilidade com normal, usamos o processo de padronização (transformar em uma normal padrão) — explico já.
Passo 3
O que é padronizar? A ideia é transformar
numa variável
que tem média
e desvio padrão
(a chamada normal padrão). A fórmula de padronização é
onde
é a média de
e
é o desvio padrão de
. Aqui
e
, logo
Agora aplicamos essa transformação ao valor
:
Portanto
onde
é uma normal padrão (
).
Passo 4
Como calcular
? Usamos as propriedades da normal padrão e das suas tabelas (ou uma calculadora de normal). Duas maneiras equivalentes e intuitivas:
- Usando a função de distribuição
:
- Usando a simetria da normal padrão:
. Aplicando em ,
Juntando,
Outra forma bem direta de ver isso: pela simetria, a probabilidade à direita de
é igual à probabilidade à esquerda de
, isto é,
.
Passo 5
Agora precisamos do valor numérico de
. Da tabela da normal padrão (ou de memória), temos
Isto significa que a probabilidade procurada é aproximadamente
, ou em porcentagem, cerca de
.
Passo 6
Complemento didático rápido (útil para prova): se te pedirem
, é só fazer o complemento:
Ou seja, é raro (cerca de
) encontrar uma mulher mais baixa que
nessa população.