Sabe-se que em uma população, a altura dos homens adultos tem distribuição normal com média 175 cm e desvio padrão 20 cm , enquanto que a das mulheres é também normal com média 160 cm e desvio padrão 10 cm .
Sorteando-se aleatoriamente dessa população uma mulher, qual é a probabilidade de sua altura ser superior a 150 cm ?

Passo 1

O enunciado sorteia aleatoriamente uma mulher dessa população e pede a probabilidade de sua altura ser superior a 150\\ \text{cm}. Informações relevantes fornecidas:
\text{Média das alturas das mulheres }=\;160\\ \text{cm}é
\text{Desvio padrão das alturas das mulheres }=\;10\\ \text{cm}ã
\text{Queremos }P(\text{altura} > 150\\ \text{cm}).

Passo 2

Vamos representar a altura da mulher por uma variável aleatória X. Pelo enunciado, X tem distribuição normal com média 160 e desvio padrão 10. Escrevemos isso assim:
X \sim N(160,\,10^2).
O que nos pedem é calcular
P(X>150).
Para resolver esse tipo de probabilidade com normal, usamos o processo de padronização (transformar em uma normal padrão) — explico já.

Passo 3

O que é padronizar? A ideia é transformar X numa variável Z que tem média 0 e desvio padrão 1 (a chamada normal padrão). A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média de X e \sigma é o desvio padrão de X. Aqui \mu=160 e \sigma=10, logo
Z=\frac{X-160}{10}.
Agora aplicamos essa transformação ao valor 150:
z=\frac{150-160}{10}=\frac{-10}{10}=-1.
Portanto
P(X>150)=P\!\left(Z>-1\right),
onde Z é uma normal padrão ( Z\sim N(0,1)).

Passo 4

Como calcular P(Z>-1)? Usamos as propriedades da normal padrão e das suas tabelas (ou uma calculadora de normal). Duas maneiras equivalentes e intuitivas:
  1. Usando a função de distribuição \Phi(a)=P(Z\le a):
P(Z>-1)=1-\Phi(-1).
  1. Usando a simetria da normal padrão: \Phi(-a)=1-\Phi(a). Aplicando em a=1,
\Phi(-1)=1-\Phi(1).
Juntando,
P(Z>-1)=1-\Phi(-1)=1-[1-\Phi(1)]=\Phi(1).
Outra forma bem direta de ver isso: pela simetria, a probabilidade à direita de -1 é igual à probabilidade à esquerda de 1, isto é, P(Z>-1)=P(Z\le 1)=\Phi(1).

Passo 5

Agora precisamos do valor numérico de \Phi(1). Da tabela da normal padrão (ou de memória), temos
\Phi(1)\approx 0,8413.
Isto significa que a probabilidade procurada é aproximadamente 0,8413, ou em porcentagem, cerca de 84,13\%.

Passo 6

Complemento didático rápido (útil para prova): se te pedirem P(X\le 150), é só fazer o complemento:
P(X\le 150)=1-P(X>150)=1-0,8413=0,1587.
Ou seja, é raro (cerca de 15,87\%) encontrar uma mulher mais baixa que 150\\ \text{cm} nessa população.

Resposta

0,8413

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