Sabe-se que em uma população, a altura dos homens adultos tem distribuição normal com média 175 cm e desvio padrão 20 cm , enquanto que a das mulheres é também normal com média 160 cm e desvio padrão 10 cm .
Qual é a probabilidade de uma pessoa ter altura acima de 150 cm , sendo ela sorteada de um grupo de pessoas constituído de
de mulheres e
de homens?
Qual é a probabilidade de uma pessoa ter altura acima de 150 cm , sendo ela sorteada de um grupo de pessoas constituído de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Dados sobre a altura das mulheres: média
cm e desvio padrão cm. - Dados sobre a altura dos homens: média
cm e desvio padrão cm. - Composição do grupo:
de mulheres e de homens, ou seja, e . - Pergunta: qual é a probabilidade de uma pessoa sorteada desse grupo ter altura acima de
cm, ou seja, calcular .
Passo 2
Estratégia (fórmula básica usada): usamos a regra da probabilidade total (não precisa decorar o nome, mas é simples): a probabilidade de a pessoa ter altura acima de
é a média ponderada das probabilidades condicionais por sexo. Em fórmulas:
Aqui
é a probabilidade de uma mulher ter mais de
cm e
a probabilidade correspondente para um homem.
Passo 3
Como calcular
: para variáveis normais é comum transformar para a variável normal padrão. Definimos a variável padrão
com distribuição normal padrão (média
e desvio padrão
). A transformação é
onde
é a altura. Para mulheres, a média é
e
. Então o escore
correspondente a
é
A probabilidade que queremos é
Usando a tabela da normal padrão (ou propriedades de simetria), sabemos que
, onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão, e
. Assim
Explicação rápida da simetria:
, então
.
Passo 4
Calcular
: para homens
e
. O escore
para
é
Portanto
Usando tabela ou calculadora,
. Logo
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da Passo 2 e substituímos os valores encontrados:
Substituindo os números:
Passo 6
Fazendo as contas passo a passo (para você poder reproduzir na prova sem erro):
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Soma:
Arredondando de forma razoável (por exemplo, quatro casas decimais) obtemos
, que em porcentagem é
.