Sabe-se que em uma população, a altura dos homens adultos tem distribuição normal com média 175 cm e desvio padrão 20 cm , enquanto que a das mulheres é também normal com média 160 cm e desvio padrão 10 cm .
Qual é a probabilidade de uma pessoa ter altura acima de 150 cm , sendo ela sorteada de um grupo de pessoas constituído de 60 \% de mulheres e 40 \% de homens?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Dados sobre a altura das mulheres: média \mu_W = 160 cm e desvio padrão \sigma_W = 10 cm.
  • Dados sobre a altura dos homens: média \mu_M = 175 cm e desvio padrão \sigma_M = 20 cm.
  • Composição do grupo: 60\% de mulheres e 40\% de homens, ou seja, P(W)=0{,}60 e P(M)=0{,}40.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de uma pessoa sorteada desse grupo ter altura acima de 150 cm, ou seja, calcular P(\text{altura}>150).

Passo 2

Estratégia (fórmula básica usada): usamos a regra da probabilidade total (não precisa decorar o nome, mas é simples): a probabilidade de a pessoa ter altura acima de 150 é a média ponderada das probabilidades condicionais por sexo. Em fórmulas:
P(\text{altura}>150)=P(\text{altura}>150\mid W)\,P(W)+P(\text{altura}>150\mid M)\,P(M).
Aqui P(\text{altura}>150\mid W) é a probabilidade de uma mulher ter mais de 150 cm e P(\text{altura}>150\mid M) a probabilidade correspondente para um homem.

Passo 3

Como calcular P(\text{altura}>150\mid W): para variáveis normais é comum transformar para a variável normal padrão. Definimos a variável padrão Z com distribuição normal padrão (média 0 e desvio padrão 1). A transformação é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde X é a altura. Para mulheres, a média é \mu_W=160 e \sigma_W=10. Então o escore z correspondente a 150 é
z_W=\frac{150-160}{10}=\frac{-10}{10}=-1.
A probabilidade que queremos é
P(\text{altura}>150\mid W)=P\big(Z>-1\big).
Usando a tabela da normal padrão (ou propriedades de simetria), sabemos que P(Z>-1)=\Phi(1), onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão, e \Phi(1)\approx 0{,}8413447. Assim
P(\text{altura}>150\mid W)\approx 0{,}8413447.
Explicação rápida da simetria: \Phi(-a)=1-\Phi(a), então P(Z>-1)=1-\Phi(-1)=\Phi(1).

Passo 4

Calcular P(\text{altura}>150\mid M): para homens \mu_M=175 e \sigma_M=20. O escore z para 150 é
z_M=\frac{150-175}{20}=\frac{-25}{20}=-1{,}25.
Portanto
P(\text{altura}>150\mid M)=P\big(Z>-1{,}25\big)=\Phi(1{,}25).
Usando tabela ou calculadora, \Phi(1{,}25)\approx 0{,}8943502. Logo
P(\text{altura}>150\mid M)\approx 0{,}8943502.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da Passo 2 e substituímos os valores encontrados:
P(\text{altura}>150)=0{,}60\cdot P(\text{altura}>150\mid W)+0{,}40\cdot P(\text{altura}>150\mid M).
Substituindo os números:
P(\text{altura}>150)=0{,}60\cdot 0{,}8413447 + 0{,}40\cdot 0{,}8943502.

Passo 6

Fazendo as contas passo a passo (para você poder reproduzir na prova sem erro):
  • Primeiro termo:
0{,}60\cdot 0{,}8413447 = 0{,}50480682.
  • Segundo termo:
0{,}40\cdot 0{,}8943502 = 0{,}35774008.
  • Soma:
0{,}50480682 + 0{,}35774008 = 0{,}86254690.
Arredondando de forma razoável (por exemplo, quatro casas decimais) obtemos 0{,}8625, que em porcentagem é 86{,}25\%.

Resposta

0{,}8625 (aproximadamente 86{,}25\%)

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