3- Sabe-se que a população de determinado estado cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Se após 4 anos a população é o dobro da inicial,e após 5 anos é de 20.000 habitantes, determine a população inicial.
Passo 1
O enunciado diz que a população
cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Isso significa que usamos o modelo exponencial
onde
é a população inicial e
é a constante de crescimento. Nos dão duas informações:
- Após 4 anos a população dobrou, ou seja,
. - Após 5 anos a população é
.
Nosso objetivo é achar.
Passo 2
Usamos a condição
. Na fórmula
isso vira
Cancelando
, temos
Passo 3
Agora usamos
. Pela fórmula,
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Reescrevendo
, isolamos
:
Podemos simplificar um pouco:
então
Passo 5
Para um valor aproximado, calculemos numericamente:
Resposta
A população inicial é