3- Sabe-se que a população de determinado estado cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Se após 4 anos a população é o dobro da inicial,e após 5 anos é de 20.000 habitantes, determine a população inicial.

Passo 1

O enunciado diz que a população P(t) cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Isso significa que usamos o modelo exponencial
P(t) = P0 e^kt,
onde P0 é a população inicial e k é a constante de crescimento. Nos dão duas informações:
  1. Após 4 anos a população dobrou, ou seja, P(4)=2P0.
  2. Após 5 anos a população é P(5)=20,000.
    Nosso objetivo é achar P0.

Passo 2

Usamos a condição P(4)=2P0. Na fórmula P(t)=P0 e^kt isso vira
P0 e^kcdot 4=2P0
Cancelando P0neq0, temos
e^4k=2 Longrightarrow 4k = ln(2) Longrightarrow k = ln(2)4

Passo 3

Agora usamos P(5)=20,000. Pela fórmula,
P(5)=P0 e^kcdot 5=20,000
Substituindo k=tfracln(2)4, obtemos
P0,e^5cdotln(2)4 = 20,000 Longrightarrow P0,e^5ln(2)4 = 20,000

Passo 4

Reescrevendo e^5ln(2)4 = 2^5/4, isolamos P0:
P0 = 20,0002^5/4
Podemos simplificar um pouco:
2^5/4 = 2^1+tfrac14 = 2cdot 2^1/4,
então
P0 = 20,0002cdot 2^1/4 = 10,0002^1/4

Passo 5

Para um valor aproximado, calculemos numericamente:
2^1/4approx 1,1892 Longrightarrow P0 approx 10,0001,1892approx 8,409,6

Resposta

A população inicial é
P0 = 20,0002^5/4approx 8,410 habitantes

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