Sabe-se que num processo de industrialização de pêssego em latas, a probabilidade de apresentar peso drenado fora dos padrões é 0,05 . Qual a probabilidade de, em uma amostra de 500 latas, apresentarem-se fora dos padrões:
ou mais latas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Probabilidade de uma lata apresentar peso drenado fora do padrão:
. - Tamanho da amostra:
. - Pergunta: qual a probabilidade de, na amostra de
latas, aparecerem fora dos padrões ou mais das latas?
Informação útil extra (calculada a partir do enunciado):
de
latas corresponde a
latas. Portanto a pergunta é: qual a probabilidade de ocorrerem pelo menos
latas fora do padrão na amostra?
Passo 2
Escolha do método de resolução (explicação rápida do porquê):
O número de latas fora do padrão é uma variável discreta que segue a distribuição binomial com parâmetros e
. Calcular a probabilidade exata
com a binomial exata é trabalhoso sem computador. Como
é grande (
) e tanto
quanto
são suficientemente grandes (veremos os valores abaixo), podemos aproximar a binomial por uma normal — é o método básico e prático em prova. Vou usar a aproximação normal com correção de continuidade (essa correção melhora muito a aproximação quando passamos de discreto para contínuo).
O número de latas fora do padrão é uma variável discreta que segue a distribuição binomial com parâmetros
Passo 3
Definição da variável aleatória e fórmulas essenciais:
Definimos = número de latas fora do padrão na amostra. Então
Definimos
Lembrando as fórmulas:
Passo 4
Cálculo da média e do desvio padrão:
Calculamos a média e a variância com os valores dados:
Calculamos a média e a variância com os valores dados:
Vou usar
para os cálculos numéricos.
Passo 5
Aplicação da correção de continuidade e tradução do evento:
Queremos . Como
é discreta, para aproximar por uma normal contínua usamos a correção de continuidade:
Queremos
quando substituímos
pela normal aproximante.
Passo 6
Padronização para a normal padrão:
Se é aproximada por
, definimos a variável padrão
Se
Calculamos o
correspondente ao ponto
:
Passo 7
Uso da tabela da normal padrão (ou calculadora) para obter a probabilidade:
Queremos
Queremos
onde
é a função distribuição acumulada da normal padrão. Consultando tabela da normal padrão ou calculadora,
Portanto
Passo 8
Interpretação e checagem rápida:
O resultado significa que a chance de, numa amostra de latas, termos
ou mais (ou seja, pelo menos
latas) fora do padrão é aproximadamente
, ou cerca de
. Como checagem intuitiva: a média é
latas fora do padrão;
está menos de um desvio padrão acima da média (
desvio), então faz sentido que a probabilidade de exceder esse valor seja algo entre
e
.
O resultado significa que a chance de, numa amostra de
Dica para prova: escreva claramente
, calcule
e
, use correção de continuidade e padronize — esses passos são os que garantem pontos.