Sabe-se que num processo de industrialização de pêssego em latas, a probabilidade de apresentar peso drenado fora dos padrões é 0,05 . Qual a probabilidade de, em uma amostra de 500 latas, apresentarem-se fora dos padrões:
6 \% ou mais latas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Probabilidade de uma lata apresentar peso drenado fora do padrão: p=0{,}05.
  • Tamanho da amostra: n=500.
  • Pergunta: qual a probabilidade de, na amostra de 500 latas, aparecerem fora dos padrões 6\% ou mais das latas?
Informação útil extra (calculada a partir do enunciado): 6\% de 500 latas corresponde a 0{,}06\cdot500=30 latas. Portanto a pergunta é: qual a probabilidade de ocorrerem pelo menos 30 latas fora do padrão na amostra?

Passo 2

Escolha do método de resolução (explicação rápida do porquê):
O número de latas fora do padrão é uma variável discreta que segue a distribuição binomial com parâmetros n e p. Calcular a probabilidade exata P(X\ge 30) com a binomial exata é trabalhoso sem computador. Como n é grande ( 500) e tanto np quanto n(1-p) são suficientemente grandes (veremos os valores abaixo), podemos aproximar a binomial por uma normal — é o método básico e prático em prova. Vou usar a aproximação normal com correção de continuidade (essa correção melhora muito a aproximação quando passamos de discreto para contínuo).

Passo 3

Definição da variável aleatória e fórmulas essenciais:
Definimos X = número de latas fora do padrão na amostra. Então
X \sim \text{Binomial}(n,p)=\text{Binomial}(500,0{,}05).
Lembrando as fórmulas:
\text{média: }\mu = E[X] = np,é
\text{variância: }\sigma^{2} = \operatorname{Var}(X) = np(1-p),â
\text{desvio padrão: }\sigma = \sqrt{np(1-p)}.ã

Passo 4

Cálculo da média e do desvio padrão:
Calculamos a média e a variância com os valores dados:
\mu = np = 500\cdot 0{,}05 = 25.
\sigma^{2} = np(1-p) = 500\cdot 0{,}05\cdot(1-0{,}05) = 500\cdot 0{,}05\cdot 0{,}95 = 23{,}75.
\sigma = \sqrt{23{,}75}\approx 4{,}873416\ldots
Vou usar \sigma\approx 4{,}8734 para os cálculos numéricos.

Passo 5

Aplicação da correção de continuidade e tradução do evento:
Queremos P(X\ge 30). Como X é discreta, para aproximar por uma normal contínua usamos a correção de continuidade:
P(X\ge 30) \approx P(X\ge 29{,}5)
quando substituímos X pela normal aproximante.

Passo 6

Padronização para a normal padrão:
Se X é aproximada por \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}), definimos a variável padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,1).
Calculamos o z correspondente ao ponto 29{,}5:
z=\frac{29{,}5-\mu}{\sigma}=\frac{29{,}5-25}{4{,}8734}=\frac{4{,}5}{4{,}8734}\approx 0{,}9238.

Passo 7

Uso da tabela da normal padrão (ou calculadora) para obter a probabilidade:
Queremos
P(X\ge 29{,}5)\approx P\!\left(Z\ge 0{,}9238\right)=1-\Phi(0{,}9238),
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão. Consultando tabela da normal padrão ou calculadora,
\Phi(0{,}9238)\approx 0{,}8228.
Portanto
P(X\ge 30)\approx 1-0{,}8228=0{,}1772.

Passo 8

Interpretação e checagem rápida:
O resultado significa que a chance de, numa amostra de 500 latas, termos 6\% ou mais (ou seja, pelo menos 30 latas) fora do padrão é aproximadamente 0{,}1772, ou cerca de 17{,}7\%. Como checagem intuitiva: a média é 25 latas fora do padrão; 30 está menos de um desvio padrão acima da média ( \approx 0{,}92 desvio), então faz sentido que a probabilidade de exceder esse valor seja algo entre 10\% e 20\%.
Dica para prova: escreva claramente X\sim\text{Binomial}(n,p), calcule \mu e \sigma, use correção de continuidade e padronize — esses passos são os que garantem pontos.

Resposta

P(\text{6\% ou mais})\approx 0{,}1772

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