Suponha que o peso dos 35000 alunos da UFSC, matriculados no primeiro semestre de 2005 , seja normalmente distribuído com média de 60.5 e desvio padrão de 12 kg . Na hipótese de se utilizarem amostras de tamanho 36:
Qual é a probabilidade da média de uma amostra de tamanho 36 se encontrar entre 58 e 62 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Temos uma população (os pesos dos 35\,000 alunos) que é normalmente distribuída com média \mu=60,5 e desvio padrão \sigma=12.
  • Vamos usar amostras de tamanho n=36.
  • Pergunta: Qual é a probabilidade da média amostral de tamanho 36 ficar entre 58 e 62, ou seja, calcular \mathbb{P}(58 < \overline{X} < 62), onde \overline{X} é a média da amostra.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar — distribuição da média amostral:
  • Quando a população é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, a distribuição da média amostral \overline{X} obtida de amostras de tamanho n é também normal, com média igual à média da população e desvio padrão reduzido. Isso é exato (não é aproximação) porque a população já é normal.
A fórmula é:
\overline{X}\sim N\!\left(\mu,\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)
onde
  • \mu é a média populacional,
  • \sigma é o desvio padrão populacional,
  • n é o tamanho da amostra,
  • \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é chamado de erro padrão da média (standard error).

Passo 3

Calcular o erro padrão da média (o desvio padrão de \overline{X}):
  • Dados: \sigma=12 e n=36.
  • O erro padrão é
\text{EP}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{12}{\sqrt{36}}=\frac{12}{6}=2.
Portanto \overline{X}\sim N\!\left(60,5,\;2\right).

Passo 4

Padronizar os limites para usar a tabela da normal padrão:
  • Para transformar \overline{X} em uma variável normal padrão Z usamos
Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\text{EP}}=\frac{\overline{X}-60,5}{2}.
  • Então
\mathbb{P}(58<\overline{X}<62)=\mathbb{P}\!\left(\frac{58-60,5}{2}<Z<\frac{62-60,5}{2}\right).
Calcule os dois z-valores:
\frac{58-60,5}{2}=\frac{-2,5}{2}=-1,25,
\frac{62-60,5}{2}=\frac{1,5}{2}=0,75.
Logo precisamos de \mathbb{P}(-1,25<Z<0,75).

Passo 5

Usar a função de distribuição acumulada da normal padrão \Phi(z):
  • A probabilidade pedida é
\mathbb{P}(-1,25<Z<0,75)=\Phi(0,75)-\Phi(-1,25).
  • Lembre: \Phi(-a)=1-\Phi(a) não é correto; o correto é \Phi(-a)=1-\Phi(a) apenas se estivermos referindo-nos à simetria com relação a 0{,} — mais precisamente \Phi(-a)=1-\Phi(a) vale se usarmos a tabela que dá \mathbb{P}(Z>a). Para evitar confusão, usemos valores tabelados diretos ou a simetria \Phi(-a)=1-\Phi(a) só com cuidado. Aqui é mais simples usar a propriedade de simetria:
\Phi(-1,25)=1-\Phi(1,25).
  • Valores da tabela (ou calculadora) para a normal padrão:
\Phi(0,75)\approx 0,77337,
\Phi(1,25)\approx 0,89435,
portanto
\Phi(-1,25)=1-\Phi(1,25)=1-0,89435=0,10565.

Passo 6

Calcular a diferença e interpretar:
\mathbb{P}(-1,25<Z<0,75)=\Phi(0,75)-\Phi(-1,25)\approx 0,77337-0,10565=0,66772.
Interpretação: isso significa que a chance de a média de uma amostra de 36 alunos cair entre 58 e 62 é aproximadamente 0,6677, ou seja cerca de 66{,}77\%.

Resposta

0,66772 (aproximadamente 66{,}77\%)

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