Suponha que o peso dos 35000 alunos da UFSC, matriculados no primeiro semestre de 2005 , seja normalmente distribuído com média de 60.5 e desvio padrão de 12 kg . Na hipótese de se utilizarem amostras de tamanho 36:
Qual é a probabilidade da média de uma amostra de tamanho 36 se encontrar entre 58 e 62 ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
Temos uma população (os pesos dos 35\,000 alunos) que é normalmente distribuída com média \mu=60,5 e desvio padrão \sigma=12.
Vamos usar amostras de tamanho n=36.
Pergunta: Qual é a probabilidade da média amostral de tamanho 36 ficar entre 58 e 62, ou seja, calcular \mathbb{P}(58 < \overline{X} < 62), onde \overline{X} é a média da amostra.
Passo 2
Conceito importante que vamos usar — distribuição da média amostral:
Quando a população é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, a distribuição da média amostral \overline{X} obtida de amostras de tamanho n é também normal, com média igual à média da população e desvio padrão reduzido. Isso é exato (não é aproximação) porque a população já é normal.
Usar a função de distribuição acumulada da normal padrão \Phi(z):
A probabilidade pedida é
\mathbb{P}(-1,25<Z<0,75)=\Phi(0,75)-\Phi(-1,25).
Lembre: \Phi(-a)=1-\Phi(a) não é correto; o correto é \Phi(-a)=1-\Phi(a) apenas se estivermos referindo-nos à simetria com relação a 0{,} — mais precisamente \Phi(-a)=1-\Phi(a) vale se usarmos a tabela que dá \mathbb{P}(Z>a). Para evitar confusão, usemos valores tabelados diretos ou a simetria \Phi(-a)=1-\Phi(a) só com cuidado. Aqui é mais simples usar a propriedade de simetria:
\Phi(-1,25)=1-\Phi(1,25).
Valores da tabela (ou calculadora) para a normal padrão:
Interpretação: isso significa que a chance de a média de uma amostra de 36 alunos cair entre 58 e 62 é aproximadamente 0,6677, ou seja cerca de 66{,}77\%.