Sabe-se que num processo de industrialização de pêssego em latas, a probabilidade de apresentar peso drenado fora dos padrões é 0,05 . Qual a probabilidade de, em uma amostra de 500 latas, apresentarem-se fora dos padrões:
ou menos latas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Probabilidade de uma lata apresentar peso drenado fora dos padrões:
. - Tamanho da amostra:
. - Pergunta: qual a probabilidade de, na amostra de
latas, apresentarem-se fora dos padrões no máximo das latas? - Observação numérica imediata:
de latas é latas. Portanto a pergunta é calcular
onde
é o número de latas fora dos padrões na amostra de
.
Passo 2
Modelagem do problema e fórmulas básicas (aula curta para você entender o que estou usando).
- Quando cada lata é, independentemente, “fora dos padrões” com probabilidade
, o número de latas fora dos padrões em uma amostra de latas segue uma distribuição binomial:
- Para uma binomial, a esperança (média) e a variância são dadas por
Aqui, vamos calcular esses valores:
e
.
Passo 3
Cálculos da média e do desvio-padrão, e justificativa do método numérico escolhido.
- Calculemos a média e a variância:
- O desvio-padrão é
. Calculando:
- Método: como
é grande e tanto quanto são maiores que , é apropriado usar a aproximação normal para a binomial. Essa aproximação é muito usada em provas porque simplifica cálculos quando é grande. - Importante: ao aproximar uma variável discreta por uma contínua usamos a correção de continuidade. Para
usaremos o ponto de corte (ou seja, incluímos metade da unidade).
Passo 4
Aplicando a aproximação normal com correção de continuidade e padronizando.
- Aproximação:
onde
é normal com média
e desvio-padrão
.
- Padronizamos para a normal padrão
:
Portanto
Passo 5
Encontrando o valor na tabela da normal padrão (ou usando calculadora de
).
- A função de distribuição acumulada da normal padrão é
. - Consultando tabela ou interpolando:
e . Para obtemos por interpolação aproximadamente . - Usando simetria da normal,
- Em porcentagem isso é aproximadamente
.