Sabe-se que num processo de industrialização de pêssego em latas, a probabilidade de apresentar peso drenado fora dos padrões é 0,05 . Qual a probabilidade de, em uma amostra de 500 latas, apresentarem-se fora dos padrões:
4 \% ou menos latas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Probabilidade de uma lata apresentar peso drenado fora dos padrões: p=0,05.
  • Tamanho da amostra: n=500.
  • Pergunta: qual a probabilidade de, na amostra de 500 latas, apresentarem-se fora dos padrões no máximo 4\% das latas?
  • Observação numérica imediata: 4\% de 500 latas é \,0,04\cdot500=20 latas. Portanto a pergunta é calcular
\Pr(X\le 20),
onde X é o número de latas fora dos padrões na amostra de 500.

Passo 2

Modelagem do problema e fórmulas básicas (aula curta para você entender o que estou usando).
  • Quando cada lata é, independentemente, “fora dos padrões” com probabilidade p, o número de latas fora dos padrões em uma amostra de n latas segue uma distribuição binomial:
X\sim\text{Binomial}(n,p).
  • Para uma binomial, a esperança (média) e a variância são dadas por
\mathbb{E}[X]=np,\qquad \operatorname{Var}(X)=np(1-p).
Aqui, vamos calcular esses valores: \mathbb{E}[X]=500\cdot0,05 e \operatorname{Var}(X)=500\cdot0,05\cdot(1-0,05).

Passo 3

Cálculos da média e do desvio-padrão, e justificativa do método numérico escolhido.
  • Calculemos a média e a variância:
\mathbb{E}[X]=500\cdot0,05=25,
\operatorname{Var}(X)=500\cdot0,05\cdot0,95=25\cdot0,95=23,75.
  • O desvio-padrão é \sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{23,75}. Calculando:
\sigma=\sqrt{23,75}\approx 4,8734.
  • Método: como n é grande e tanto np=25 quanto n(1-p)=475 são maiores que 5, é apropriado usar a aproximação normal para a binomial. Essa aproximação é muito usada em provas porque simplifica cálculos quando n é grande.
  • Importante: ao aproximar uma variável discreta por uma contínua usamos a correção de continuidade. Para \Pr(X\le 20) usaremos o ponto de corte 20,5 (ou seja, incluímos metade da unidade).

Passo 4

Aplicando a aproximação normal com correção de continuidade e padronizando.
  • Aproximação:
\Pr(X\le 20)\approx \Pr\big(Y\le 20,5\big),
onde Y é normal com média \mu=np=25 e desvio-padrão \sigma\approx4,8734.
  • Padronizamos para a normal padrão Z\sim N(0,1):
Z=\frac{Y-\mu}{\sigma}=\frac{20,5-25}{4,8734}=\frac{-4,5}{4,8734}\approx -0,923.
Portanto
\Pr(X\le 20)\approx \Pr\big(Z\le -0,923\big).

Passo 5

Encontrando o valor na tabela da normal padrão (ou usando calculadora de \Phi).
  • A função de distribuição acumulada da normal padrão é \Phi(z)=\Pr(Z\le z).
  • Consultando tabela ou interpolando: \Phi(0,92)\approx0,8212 e \Phi(0,93)\approx0,8231. Para 0,923 obtemos por interpolação aproximadamente \Phi(0,923)\approx0,8218.
  • Usando simetria da normal,
\Pr(Z\le -0,923)=\Phi(-0,923)=1-\Phi(0,923)\approx 1-0,8218=0,1782.
  • Em porcentagem isso é aproximadamente 17,82\%.

Resposta

0,1782
17,82\%

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