Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garanuir o máximo
de itens defeituosos na produção. A cada 15 minutos sorteia-se uma amostra de 50 peças e havendo mais de
com defeito, para-se a produção para verificações. Qual a probabilidade de uma parada?
Passo 1
O enunciado diz: a cada 15 minutos sorteia-se uma amostra de
peças; a produção tem, no máximo,
de defeituosos (ou seja, assumimos taxa verdadeira de defeito
); se na amostra houver mais de
de defeituosos, a produção é parada.
Pergunta: qual a probabilidade de ocorrer uma parada numa amostra?
Pergunta: qual a probabilidade de ocorrer uma parada numa amostra?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Modelagem probabilística e fórmula básica (aulas rápidas): quando cada peça é defeituosa com probabilidade
independente das outras, o número
de peças defeituosas em uma amostra de
segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de exatamente
defeituosos é
onde
é o coeficiente binomial (o número de maneiras de escolher
itens entre
). Aqui,
,
.
Explicação intuitiva: a expressão junta (i) o número de arranjos
, (ii) a probabilidade de obter
defeituosos (
) e (iii) a probabilidade das outras
não serem defeituosas
.
Passo 3
Converter a regra de parada em número de peças:
de
é
. "Mais de
" significa mais que
peças, isto é, pelo menos
peças. Portanto a parada ocorre quando
.
Logo a probabilidade procurada é
Passo 4
Estratégia de cálculo: calcular
. Para facilitar os cálculos (e reduzir riscos de overflow), fatoramos
:
Assim só precisamos de
e das razões
para
.
Passo 5
Calcular
aproximadamente (explicando o passo): usamos
, então
portanto
(Esse é um valor aproximado, mas já suficiente para uma boa precisão.)
Passo 6
Calcular os termos
para
. Vou listar cada um usando a factorização acima e os valores conhecidos dos coeficientes binomiais:
Observação sobre essas contas: usei valores conhecidos de
e os denominadores
para simplificar; os resultados acima estão arredondados com 6 casas decimais para manter clareza.
Passo 7
Somar as probabilidades de
a
para obter
:
Portanto
Passo 8
Verificação rápida com aproximações (pra você ver que o valor faz sentido):
- Aproximação normal com correção de continuidade:
, . Então
próximo do valor exato
.
- Aproximação de Poisson com
dá . É um pouco mais distante, mas na mesma ordem de grandeza.
Tudo indica que o cálculo exato via binomial (soma que fiz) é confiável: a probabilidade de parada é cerca de
, ou seja, aproximadamente
. Força — tá indo bem!