Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garanuir o máximo 10 \% de itens defeituosos na produção. A cada 15 minutos sorteia-se uma amostra de 50 peças e havendo mais de 15 \% com defeito, para-se a produção para verificações. Qual a probabilidade de uma parada?

Passo 1

O enunciado diz: a cada 15 minutos sorteia-se uma amostra de 50 peças; a produção tem, no máximo, 10\% de defeituosos (ou seja, assumimos taxa verdadeira de defeito p=0,10); se na amostra houver mais de 15\% de defeituosos, a produção é parada.
Pergunta: qual a probabilidade de ocorrer uma parada numa amostra?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{tamanho da amostra } n=50,\qquad \text{taxa verdadeira } p=0,10,
\text{parar se } \text{proporção de defeituosos} >15\% .çã

Passo 2

Modelagem probabilística e fórmula básica (aulas rápidas): quando cada peça é defeituosa com probabilidade \;p\; independente das outras, o número X de peças defeituosas em uma amostra de n segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de exatamente k defeituosos é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (o número de maneiras de escolher k itens entre n). Aqui, \;n=50, \;p=0,10.
Explicação intuitiva: a expressão junta (i) o número de arranjos \binom{n}{k}, (ii) a probabilidade de obter k defeituosos ( p^k) e (iii) a probabilidade das outras n-k não serem defeituosas (1-p)^{n-k}.

Passo 3

Converter a regra de parada em número de peças: 15\% de 50 é 0{,}15\times50=7{,}5. "Mais de 15\%" significa mais que 7{,}5 peças, isto é, pelo menos 8 peças. Portanto a parada ocorre quando X\ge 8.
Logo a probabilidade procurada é
P(\text{parada})=P(X\ge 8)=1-P(X\le 7).

Passo 4

Estratégia de cálculo: calcular P(X\le7)=\sum_{k=0}^{7} \binom{50}{k} (0,1)^k(0,9)^{50-k}. Para facilitar os cálculos (e reduzir riscos de overflow), fatoramos 0,9^{50}:
P(X=k)=0,9^{50}\binom{50}{k}\left(\frac{0,1}{0,9}\right)^k =0,9^{50}\binom{50}{k}\left(\frac{1}{9}\right)^k.
Assim só precisamos de 0,9^{50} e das razões \binom{50}{k}/9^k para k=0,\dots,7.

Passo 5

Calcular 0,9^{50} aproximadamente (explicando o passo): usamos \ln(0,9)\approx-0,1053605, então
\ln(0,9^{50})=50\ln(0,9)\approx -5,268025,
portanto
0,9^{50}\approx e^{-5,268025}\approx 0,005162.
(Esse é um valor aproximado, mas já suficiente para uma boa precisão.)

Passo 6

Calcular os termos P(X=k) para k=0,1,\dots,7. Vou listar cada um usando a factorização acima e os valores conhecidos dos coeficientes binomiais:
k=0:
P(X=0)=0,9^{50}\approx 0,005162.
k=1:
P(X=1)=0,9^{50}\binom{50}{1}\left(\frac{1}{9}\right) =0,005162\cdot\frac{50}{9}\approx 0,028689.
k=2:
P(X=2)=0,9^{50}\binom{50}{2}\left(\frac{1}{9}\right)^2 =0,005162\cdot\frac{1225}{81}\approx 0,078115.
k=3:
P(X=3)=0,005162\cdot\frac{19600}{729}\approx 0,138800.
k=4:
P(X=4)=0,005162\cdot\frac{230300}{6561}\approx 0,181200.
k=5:
P(X=5)=0,005162\cdot\frac{2118760}{59049}\approx 0,185200.
k=6:
P(X=6)=0,005162\cdot\frac{15890700}{531441}\approx 0,154300.
k=7:
P(X=7)=0,005162\cdot\frac{99884400}{4782969}\approx 0,107800.
Observação sobre essas contas: usei valores conhecidos de \binom{50}{k} e os denominadores 9^k para simplificar; os resultados acima estão arredondados com 6 casas decimais para manter clareza.

Passo 7

Somar as probabilidades de k=0 a 7 para obter P(X\le7):
P(X\le7)\approx 0,005162+0,028689+0,078115+0,138800+0,181200+0,185200+0,154300+0,107800\approx 0,87927.
Portanto
P(\text{parada})=1-P(X\le7)\approx 1-0,87927=0,12073.

Passo 8

Verificação rápida com aproximações (pra você ver que o valor faz sentido):
  • Aproximação normal com correção de continuidade: \mu=np=5, \sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{4{,}5}\approx2{,}121. Então
P(X\ge8)\approx P\Big(Z>\frac{7{,}5-5}{2{,}121}\Big)=1-\Phi(1{,}178)\approx 0,119,
próximo do valor exato 0,1207.
  • Aproximação de Poisson com \lambda=np=5 P(X\ge8)\approx0,133. É um pouco mais distante, mas na mesma ordem de grandeza.
Tudo indica que o cálculo exato via binomial (soma que fiz) é confiável: a probabilidade de parada é cerca de 0,121, ou seja, aproximadamente 12{,}1\%. Força — tá indo bem!

Resposta

0,1207 (aprox. 12{,}07\%)

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