Seja
uma variável aleatória tal que
. Determine,
e
tal que
, usando
(a) a tabela da distribuição normal;
(b) o
.
(a) a tabela da distribuição normal;
(b) o
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de Distribuição Normal, uma das distribuições mais importantes na estatística. Precisamos encontrar duas coisas:
- Probabilidade de X ser menor que 0.3, ou seja, $ P(X < 0.3) $.
- O valor de c que faz com que $ P(0.5 - c \leq X \leq 0.5 + c) = 0.95 $.
Vamos usar duas abordagens:
(a) usando a tabela da distribuição normal, e
(b) usando o R, que é uma linguagem de programação muito usada para estatísticas.
(a) usando a tabela da distribuição normal, e
(b) usando o R, que é uma linguagem de programação muito usada para estatísticas.
Passo 2
Parte (a): Usando a Tabela da Distribuição Normal
Calculando $ P(X < 0.3) $
-
Entendendo a Distribuição Normal: Sabemos que $ X \sim N(0.5, 0.04) $. Isso significa que a média $ \mu = 0.5 $ e a variância $ \sigma^2 = 0.04 $, então o desvio padrão $ \sigma = \sqrt{0.04} = 0.2 $.
-
Padronizando a Variável: Para usar a tabela, precisamos converter X para a distribuição normal padrão (Z), que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula é:Substituindo:
-
Consultando a Tabela: Agora, procuramos na tabela a probabilidade de $ Z < -1 $. Sabemos que a tabela geralmente dá $ P(Z < z) $ para valores positivos. Como a distribuição é simétrica:Portanto, $ P(X < 0.3) = 0.1587 $ ou 15.87%.
Encontrando c tal que $ P(0.5 - c \leq X \leq 0.5 + c) = 0.95 $
-
Entendendo o Intervalo: Queremos que 95% dos valores de X estejam dentro de $ 0.5 \pm c $.
-
Encontrando o Valor de Z para 95%: Na distribuição normal padrão, queremos encontrar o valor de z que deixa 2.5% em cada cauda (totalizando 5% fora). Olhando na tabela:Isso significa que $ z = 1.96 $.
-
Calculando c: Agora, convertemos z de volta para X usando a fórmula inversa:Portanto, c ≈ 0.392.
Passo 3
Parte (b): Usando o R
Vamos resolver os mesmos problemas, mas agora utilizando o R, que facilita muito esses cálculos.
Calculando $ P(X < 0.3) $ no R
-
Usando a Função pnorm: No R, a função
pnorm
calcula a probabilidade acumulada até um certo valor. A sintaxe é:pnorm(q, mean, sd)
Onde:q
é o valor de X (no caso, 0.3),mean
é a média (0.5),sd
é o desvio padrão (0.2).
-
Comando no R:
probabilidade <- pnorm(0.3, mean = 0.5, sd = 0.2) print(probabilidade)
Execute esse código no R e você obterá aproximadamente 0.1587, que é 15.87%.
Encontrando c tal que $ P(0.5 - c \leq X \leq 0.5 + c) = 0.95 $ no R
-
Usando a Função qnorm: Queremos encontrar o z que corresponde a 95% de probabilidade central. A função
qnorm
nos dá os valores quantis. Para 95%, com 2.5% em cada cauda:z <- qnorm(0.975) # 0.975 porque 0.95 central + 0.025 na cauda
-
Calculando c:
c <- z * 0.2 print(c)
Isso dará aproximadamente 0.392, que é o valor de c que buscamos.
Resposta
(a) Usando a tabela da distribuição normal:
- $ P(X < 0.3) = 0.1587 $ ou 15.87%.
- $ c \approx 0.392 $.
(b) Usando o R:
- $ P(X < 0.3) \approx 0.1587 $ ou 15.87%.
- $ c \approx 0.392 $.