Seja X uma variável aleatória tal que X sim N(0.5,0.04). Determine, P(X<0.3) e c tal que P(0.5-c <= X <= 0.5+c)=0.95, usando
(a) a tabela da distribuição normal;
(b) o R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de Distribuição Normal, uma das distribuições mais importantes na estatística. Precisamos encontrar duas coisas:
  1. Probabilidade de X ser menor que 0.3, ou seja, $ P(X < 0.3) $.
  2. O valor de c que faz com que $ P(0.5 - c \leq X \leq 0.5 + c) = 0.95 $.
Vamos usar duas abordagens:
(a) usando a tabela da distribuição normal, e
(b) usando o R, que é uma linguagem de programação muito usada para estatísticas.

Passo 2

Parte (a): Usando a Tabela da Distribuição Normal

Calculando $ P(X < 0.3) $

  1. Entendendo a Distribuição Normal: Sabemos que $ X \sim N(0.5, 0.04) $. Isso significa que a média $ \mu = 0.5 $ e a variância $ \sigma^2 = 0.04 $, então o desvio padrão $ \sigma = \sqrt{0.04} = 0.2 $.
  2. Padronizando a Variável: Para usar a tabela, precisamos converter X para a distribuição normal padrão (Z), que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula é:
    P(X < 0.3)
    Substituindo:
    X sim N(0.5, 0.04)
  3. Consultando a Tabela: Agora, procuramos na tabela a probabilidade de $ Z < -1 $. Sabemos que a tabela geralmente dá $ P(Z < z) $ para valores positivos. Como a distribuição é simétrica:
    mu = 0.5
    Portanto, $ P(X < 0.3) = 0.1587 $ ou 15.87%.

Encontrando c tal que $ P(0.5 - c \leq X \leq 0.5 + c) = 0.95 $

  1. Entendendo o Intervalo: Queremos que 95% dos valores de X estejam dentro de $ 0.5 \pm c $.
  2. Encontrando o Valor de Z para 95%: Na distribuição normal padrão, queremos encontrar o valor de z que deixa 2.5% em cada cauda (totalizando 5% fora). Olhando na tabela:
    sigma^2 = 0.04
    Isso significa que $ z = 1.96 $.
  3. Calculando c: Agora, convertemos z de volta para X usando a fórmula inversa:
    sigma = raiz0.04 = 0.2
    Portanto, c ≈ 0.392.

Passo 3

Parte (b): Usando o R

Vamos resolver os mesmos problemas, mas agora utilizando o R, que facilita muito esses cálculos.

Calculando $ P(X < 0.3) $ no R

  1. Usando a Função pnorm: No R, a função pnorm calcula a probabilidade acumulada até um certo valor. A sintaxe é:
    pnorm(q, mean, sd)
    
    Onde:
    • q é o valor de X (no caso, 0.3),
    • mean é a média (0.5),
    • sd é o desvio padrão (0.2).
  2. Comando no R:
    probabilidade <- pnorm(0.3, mean = 0.5, sd = 0.2)
    print(probabilidade)
    
    Execute esse código no R e você obterá aproximadamente 0.1587, que é 15.87%.

Encontrando c tal que $ P(0.5 - c \leq X \leq 0.5 + c) = 0.95 $ no R

  1. Usando a Função qnorm: Queremos encontrar o z que corresponde a 95% de probabilidade central. A função qnorm nos dá os valores quantis. Para 95%, com 2.5% em cada cauda:
    z <- qnorm(0.975)  # 0.975 porque 0.95 central + 0.025 na cauda
    
  2. Calculando c:
    c <- z * 0.2
    print(c)
    
    Isso dará aproximadamente 0.392, que é o valor de c que buscamos.

Resposta

(a) Usando a tabela da distribuição normal:
  • $ P(X < 0.3) = 0.1587 $ ou 15.87%.
  • $ c \approx 0.392 $.
(b) Usando o R:
  • $ P(X < 0.3) \approx 0.1587 $ ou 15.87%.
  • $ c \approx 0.392 $.

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