Sabe-se que o tempo de vida de um um produto tem distribuição exponencial com tempo médio de 500 dias. Obtenha a probabilidade do tempo de vida de um produto:
Estar entre 480 e 550 dias?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o tempo de vida de um produto segue uma distribuição exponencial com tempo médio de 500 dias. A pergunta é: qual a probabilidade de estar entre 480 e 550 dias?
Conteúdo envolvido: distribuição exponencial, parâmetro , função de distribuição acumulada (CDF) e cálculo de probabilidade no intervalo. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Entender o que é a distribuição exponencial;
  2. Relacionar média com parâmetro ;
  3. Usar a CDF para achar .

Passo 2

Na distribuição exponencial, a densidade é
f(x) = lambda e^-lambda x, x>=0
e a média é 1lambda = 500 Longrightarrow lambda = 1500 . Aqui a média é 500 dias, logo
Isso significa que, por dia que passa, a “taxa” de falha é .

Passo 3

Para calcular F(x) = P(X<= x) = 1 - e^-lambda x , vamos usar a função de distribuição acumulada (CDF) da exponencial:
P(a<= X<= b) = F(b) - F(a)
A probabilidade entre dois valores e é

Passo 4

Aplicando P(480<= X<= 550) = l[1 - e^-lambdacdot550r] ;-; l[1 - e^-lambdacdot480r] = e^-lambdacdot480 ;-; e^-lambdacdot550 e , temos:

Passo 5

Agora é só substituir P(480<= X<= 550) = e^-480/500 - e^-550/500 = e^-0,96 - e^-1,1 :
e^-0,96approx 0,383, e^-1,1approx 0,333,
Vamos aproximar:
P(480<= X<= 550)approx 0,383 - 0,333 = 0,050
então

Resposta

A probabilidade de o tempo de vida do produto ficar entre 480 e 550 dias é aproximadamente 0,05 (ou 5 %).

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