O tempo entre chamadas em uma central de emergências segue um processo de Poisson com uma taxa média de 5 chamadas por hora. Qual é a probabilidade de que o próximo intervalo entre chamadas seja menor que 10 minutos?
Passo 1
Beleza, vamos simplificar o que o exercício tá pedindo. O enunciado diz que o tempo entre chamadas numa central de emergências segue um Processo de Poisson com taxa média de 5 chamadas por hora. A matéria envolvida aqui é o Processo de Poisson e, mais especificamente, a distribuição exponencial que modela os intervalos entre eventos num Poisson. O que a gente precisa é calcular a probabilidade de que o próximo intervalo seja MENOR que 10 minutos.
Passo 2
Por que distribuição exponencial?
Num Processo de Poisson com taxa (aqui
chamadas/hora), os tempos entre chamadas são independentes e têm distribuição exponencial de parâmetro
. Se chamarmos esse tempo até a próxima chamada de
, então a função de distribuição acumulada (CDF) de
é:
Num Processo de Poisson com taxa
Esse
dá exatamente a probabilidade de o intervalo ser menor ou igual a
. Nosso objetivo é achar
, que é o mesmo que
(a diferença entre < e ≤ é zero nesse contexto contínuo).
Passo 3
Agora falta ajustar as unidades. A taxa
está em chamadas por hora, e o tempo que queremos (
minutos) precisa ficar em horas também. Então:
Substituindo na fórmula da CDF:
Passo 4
Só falta calcular esse valor numérico. Vamos aproximar:
Então:
Resposta
A probabilidade de que o próximo intervalo entre chamadas seja menor que 10 minutos é aproximadamente
(ou 56,54%).