O tempo entre chamadas em uma central de emergências segue um processo de Poisson com uma taxa média de 5 chamadas por hora. Qual é a probabilidade de que o próximo intervalo entre chamadas seja menor que 10 minutos?

Passo 1

Beleza, vamos simplificar o que o exercício tá pedindo. O enunciado diz que o tempo entre chamadas numa central de emergências segue um Processo de Poisson com taxa média de 5 chamadas por hora. A matéria envolvida aqui é o Processo de Poisson e, mais especificamente, a distribuição exponencial que modela os intervalos entre eventos num Poisson. O que a gente precisa é calcular a probabilidade de que o próximo intervalo seja MENOR que 10 minutos.

Passo 2

Por que distribuição exponencial?
Num Processo de Poisson com taxa lambda (aqui lambda=5 chamadas/hora), os tempos entre chamadas são independentes e têm distribuição exponencial de parâmetro lambda. Se chamarmos esse tempo até a próxima chamada de T, então a função de distribuição acumulada (CDF) de T é:
FT(t) ;=; P(T <= t) ;=; 1 - e^-lambda t
Esse FT(t) dá exatamente a probabilidade de o intervalo ser menor ou igual a t. Nosso objetivo é achar P(T < 10 min), que é o mesmo que FT(10 min) (a diferença entre < e ≤ é zero nesse contexto contínuo).

Passo 3

Agora falta ajustar as unidades. A taxa lambda=5 está em chamadas por hora, e o tempo que queremos ( 10 minutos) precisa ficar em horas também. Então:
t = 10 min = 1060,h = 16,h
Substituindo na fórmula da CDF:
P(T < 10 min) = 1 - e^-lambda t = 1 - e^-5 times 16 = 1 - e^-56

Passo 4

Só falta calcular esse valor numérico. Vamos aproximar:
e^-56 approx e^-0,8333 approx 0,4346
Então:
P(T < 10 min) = 1 - 0,4346 approx 0,5654

Resposta

A probabilidade de que o próximo intervalo entre chamadas seja menor que 10 minutos é aproximadamente boxed0,5654 (ou 56,54%).

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