Sabe-se que o tempo de vida de um um produto tem distribuição exponencial com tempo médio de 500 dias. Obtenha a probabilidade do tempo de vida de um produto:
Ser maior que 550 dias?

Passo 1

Resumo do enunciado: a vida útil de um produto segue uma distribuição exponencial com média de 500 dias. Preciso calcular a probabilidade de que ele dure mais de 550 dias.
Conteúdo da matéria: distribuição exponencial, suas funções (PDF, CDF e função sobrevivência) e relação entre média e taxa λ.
O que vamos precisar: entender a fórmula da função sobrevivência P(X>t)=e^-lambda t e saber obter λ a partir da média.

Passo 2

Teoria da distribuição exponencial:
  • A PDF (densidade) é
f(t)=lambda e^-lambda t, t>=0
- A CDF (função de distribuição acumulada) é
F(t)=P(X<= t)=1-e^-lambda t
  • A função sobrevivência (probabilidade de ultrapassar t) é
S(t)=P(X>t)=1-F(t)=e^-lambda t
É essa última que vamos usar pra achar P(X>550).

Passo 3

Encontrar λ a partir da média. Para a exponencial vale
E[X]=1lambda=500 dias
Logo
lambda=1500=0,002 (dias^-1)

Passo 4

Aplicar a função sobrevivência no ponto t=550:
P(X>550)=e^-lambdacdot550

Passo 5

Substituindo lambda=0,002:
P(X>550)=e^-0,002times550=e^-1,1approx0,3329

Resposta

A probabilidade de o produto durar mais de 550 dias é aproximadamente 0,333 (33,3%).

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