Um item é codificado pela impressão de quatro linhas espessas, três linhas médias e duas linhas finas. Se cada ordenação das nove linhas representa um código diferente, quantos códigos diferentes podem ser gerados pelo uso deste esquema?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que pedem):
  • Há quatro linhas espessas, três linhas médias e duas linhas finas.
  • Cada ordenação das nove linhas constitui um código diferente.
    A pergunta é: quantos códigos diferentes podem ser gerados por esse esquema?

Passo 2

Ideia geral (explicação intuitiva antes de calcular): temos 9 posições em sequência para preencher com as linhas. Como algumas linhas são idênticas entre si (as quatro espessas são indistinguíveis entre si, idem para as três médias e as duas finas), não podemos apenas contar 9!. A contagem correta pode ser feita escolhendo, por etapas, as posições ocupadas por cada tipo de linha: primeiro escolho onde colocar as 4 espessas entre as 9 posições, depois escolho onde colocar as 3 médias entre as posições restantes, e por fim as 2 finas ocupam as vagas que sobraram.

Passo 3

Cálculo da primeira etapa: escolher as 4 posições das espessas entre as 9. O número de maneiras é o coeficiente binomial
\binom{9}{4}.
Vamos calcular:
\binom{9}{4}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{3024}{24}=126.

Passo 4

Cálculo da segunda etapa: após colocar as 4 espessas, restam 9-4=5 posições. Escolher 3 dessas para as linhas médias dá
\binom{5}{3}.
Calculemos:
\binom{5}{3}=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=\frac{60}{6}=10.

Passo 5

A terceira etapa é automática: depois de escolher espessas e médias, sobram exatamente 2 posições para as duas linhas finas, então não há escolha extra (ou seja, 1 maneira). Pelo princípio multiplicativo, o total de códigos é
\binom{9}{4}\cdot\binom{5}{3}\cdot 1 = 126\cdot 10 = 1260.

Passo 6

Forma alternativa (fórmula geral e interpretação): essa contagem é o coeficiente multinomial correspondente às partições 4,3,2. A fórmula é
\frac{9!}{4!\,3!\,2!},
que dá o mesmo resultado. Isso vem da ideia de permutar 9 objetos e dividir pelas permutações internas indistingíveis de cada tipo. Se quiser checar:
9!=362880,\qquad 4!\,3!\,2!=24\cdot6\cdot2=288,\qquad \frac{362880}{288}=1260.

Passo 7

Pequeno exemplo para fixar o conceito: se houvesse 3 linhas sendo duas espessas idênticas e uma fina distinta, o número de ordenações seria \dfrac{3!}{2!}=3. Listando: EEF, EFE, FEE — faz sentido concreto e ajuda a visualizar porque dividimos pelo fatorial das repetidas.

Resposta

1260

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