Um item é codificado pela impressão de quatro linhas espessas, três linhas médias e duas linhas finas. Se cada ordenação das nove linhas representa um código diferente, quantos códigos diferentes podem ser gerados pelo uso deste esquema?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que pedem):
- Há quatro linhas espessas, três linhas médias e duas linhas finas.
- Cada ordenação das nove linhas constitui um código diferente.
A pergunta é: quantos códigos diferentes podem ser gerados por esse esquema?
Passo 2
Ideia geral (explicação intuitiva antes de calcular): temos
posições em sequência para preencher com as linhas. Como algumas linhas são idênticas entre si (as quatro espessas são indistinguíveis entre si, idem para as três médias e as duas finas), não podemos apenas contar
. A contagem correta pode ser feita escolhendo, por etapas, as posições ocupadas por cada tipo de linha: primeiro escolho onde colocar as
espessas entre as
posições, depois escolho onde colocar as
médias entre as posições restantes, e por fim as
finas ocupam as vagas que sobraram.
Passo 3
Cálculo da primeira etapa: escolher as
posições das espessas entre as
. O número de maneiras é o coeficiente binomial
Vamos calcular:
Passo 4
Cálculo da segunda etapa: após colocar as
espessas, restam
posições. Escolher
dessas para as linhas médias dá
Calculemos:
Passo 5
A terceira etapa é automática: depois de escolher espessas e médias, sobram exatamente
posições para as duas linhas finas, então não há escolha extra (ou seja,
maneira). Pelo princípio multiplicativo, o total de códigos é
Passo 6
Forma alternativa (fórmula geral e interpretação): essa contagem é o coeficiente multinomial correspondente às partições
. A fórmula é
que dá o mesmo resultado. Isso vem da ideia de permutar
objetos e dividir pelas permutações internas indistingíveis de cada tipo. Se quiser checar:
Passo 7
Pequeno exemplo para fixar o conceito: se houvesse
linhas sendo duas espessas idênticas e uma fina distinta, o número de ordenações seria
. Listando: EEF, EFE, FEE — faz sentido concreto e ajuda a visualizar porque dividimos pelo fatorial das repetidas.
Resposta
1260