Sabe-se que y=c1 e^x+c2 e^-x
é uma família a dois parâmetros de soluções para y^prime prime-y=0 no intervalo ( -infty, infty ). Encontre uma solução para a equação diferencial do Problema 1 satisfazendo as condições de contorno y(0)=0, y(1)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a solução geral da equação diferencial $ y’’ - y = 0 $, que é $ y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{-x} $. Nosso objetivo é encontrar os valores das constantes $ c_{1} $ e $ c_{2} $ que satisfazem as condições de contorno $ y(0) = 0 $ e $ y(1) = 1 $. Para isso, vamos usar essas condições para criar um sistema de equações e resolver para $ c_{1} $ e $ c_{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a condição de contorno $ y(0) = 0 $. Substituindo $ x = 0 $ na solução geral:
y(0) = 0
Isso nos dá a primeira equação:
x = 0 çã

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda condição de contorno $ y(1) = 1 $. Substituindo $ x = 1 $ na solução geral:
y(1) = 1
Isso nos dá a segunda equação:
x = 1 çã

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
c1 + c2 = 0 c1 e + c2 1e = 1
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 1, podemos expressar $ c_{2} $ em termos de $ c_{1} $:
c2

Passo 5

Substituindo $ c_{2} = -c_{1} $ na Equação 2:
c2 = -c1
Simplificando:
c1 e + (-c1) 1e = 1

Passo 6

Agora, isolamos $ c_{1} $:
c1

Passo 7

Com $ c_{1} $ encontrado, podemos encontrar $ c_{2} $ usando $ c_{2} = -c_{1} $:
c1

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz as condições de contorno é:
y = ee^2 - 1 e^x - ee^2 - 1 e^-x
Ou, simplificando:
y = e^x - e^-xe^2 - 1

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