Sabe-se que
é uma família a dois parâmetros de soluções para
no intervalo
. Encontre uma solução para a equação diferencial do Problema 1 satisfazendo as condições de contorno
.
é uma família a dois parâmetros de soluções para
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a solução geral da equação diferencial $ y’’ - y = 0 $, que é $ y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{-x} $. Nosso objetivo é encontrar os valores das constantes $ c_{1} $ e $ c_{2} $ que satisfazem as condições de contorno $ y(0) = 0 $ e $ y(1) = 1 $. Para isso, vamos usar essas condições para criar um sistema de equações e resolver para $ c_{1} $ e $ c_{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a condição de contorno $ y(0) = 0 $. Substituindo $ x = 0 $ na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda condição de contorno $ y(1) = 1 $. Substituindo $ x = 1 $ na solução geral:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 1, podemos expressar $ c_{2} $ em termos de $ c_{1} $:
Passo 5
Substituindo $ c_{2} = -c_{1} $ na Equação 2:
Simplificando:
Passo 6
Agora, isolamos $ c_{1} $:
Passo 7
Com $ c_{1} $ encontrado, podemos encontrar $ c_{2} $ usando $ c_{2} = -c_{1} $:
Resposta
A solução da equação diferencial que satisfaz as condições de contorno é:
Ou, simplificando: