2- Sabemos que as alturas X dos individuos de uma cidade se distribuem de modo gaussiano, com desvio padrão igual a 10 cm . Desejamos testar, com um nível de significância de 5 \%, se a altura média é diferente de 175 cm . Para isso, nós nos baseamos em um estudo no qual tem-se uma mostra de 25 pessoas com média de 170 cm . (R: Zcal= -2,5; rejeita hipótese nula)

Passo 1

Resumindo o enunciado: sabemos que as alturas X seguem uma distribuição normal N(\mu,\sigma^2) com desvio padrão conhecido \sigma=10 cm. Queremos testar, ao nível de significância de 5\%, se a média \mu difere de 175 cm. Para isso temos uma amostra de tamanho n=25 com média observada \bar X=170 cm. Como \sigma é conhecido, vamos usar o teste- Z.

Passo 2

Definimos as hipóteses do teste bilateral:
H_0: \mu = 175
H_1: \mu \neq 175
e adotamos \alpha = 0,05.

Passo 3

A estatística de teste é
Z \;=\;\frac{\bar X - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
onde \mu_0=175 é o valor sob H_0.

Passo 4

Substituindo os valores da amostra:
\bar X = 170,\quad \sigma = 10,\quad n = 25
temos
Z = \frac{170 - 175}{10/\sqrt{25}} = \frac{-5}{10/5} = \frac{-5}{2} = -2,5.

Passo 5

No teste bilateral com \alpha=0,05, os limites críticos são
\pm z_{0,025}\approx\pm1,96. Como
Z = -2,5 < -1,96,
o valor observado cai na região de rejeição de H_0. Portanto rejeitamos H_0.

Passo 6

Para verificação, podemos calcular o p-valor:
p = 2\,P\bigl(Z < -2,5\bigr)\approx 2\times0,0062 = 0,0124 < 0,05,
o que confirma a rejeição de H_0.

Resposta

\;Z_{\text{cal}} = -2,5; rejeita-se a hipótese nula.

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