3- Uma população tem desvio padrão conhecido, sendo igual a 9 mm . Se uma amostra de 50 elementos, obtida dessa população, tem média igual a 50 mm . Podemos afirmar que a média dessa população é superior a 32 mm ao nível de significância de 1 \% ? (R: Zcal \cong \mathbf{1 4 , 1 7}; rejeita hipótese nula)

Passo 1

O enunciado nos dá uma população com desvio padrão conhecido \sigma = 9 mm e extraiu uma amostra de tamanho n=50 com média amostral \bar{x}=50 mm. Queremos testar, ao nível de significância \alpha = 0,01, se a média populacional \mu é superior a 32 mm. O conteúdo aqui é teste de hipótese para a média com desvio padrão populacional conhecido, usando a estatística z.

Passo 2

Formulamos as hipóteses para um teste unilateral à direita:
H_0: \mu = 32
H_1: \mu > 32

Passo 3

Como \sigma é conhecido, usamos a estatística
z \;=\;\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
e comparamos com o valor crítico de z para \alpha = 0,01 num teste à direita:
z_{1-\alpha} = z_{0,99} \approx 2,33.

Passo 4

Calculamos o valor de z substituindo os números:
z = \frac{50 - 32}{9 / \sqrt{50}} = \frac{18}{9 / 7{,}071} = \frac{18}{1{,}273} \approx 14{,}17.

Passo 5

Com z \approx 14{,}17 e z_{1-\alpha}\approx2,33, vemos que
z > z_{1-\alpha},
logo rejeitamos H_0.

Resposta

Sim. Ao nível de significância de 1\%, rejeita-se H_0 e conclui-se que a média populacional é superior a 32 mm.

Exercícios relacionados