3- Se sabemos que um sistema realiza MHS, qual das funções abaixo não será solução para expressar a posição deste sistema:
a) x(t)=A \cos (\omega t+\varphi)
b) x(t)=A \sin (\omega t-\varphi)
c) x(t)=A \cos (\omega t)
d) x(t)=B \cos (\omega t)+C \sin (\omega t)
e) x(t)=A e^{i \omega t}

Passo 1

O enunciado diz que um sistema realiza movimento harmônico simples (MHS), cujo modelo matemático é a equação diferencial
x''(t) + \omega^2 x(t) = 0,
e pergunta qual das funções abaixo não pode representar diretamente a posição x(t). Vamos usar o fato de que a solução real geral dessa EDO é combinação linear de cosseno e seno.

Passo 2

A solução geral real de
x'' + \omega^2 x = 0
é
x(t) = B \cos(\omega t) + C \sin(\omega t),
onde B e C são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Qualquer forma faseada de cosseno ou seno pode ser escrita em termos de B\cos(\omega t)+C\sin(\omega t). Assim:
a) \displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) é só uma reescrita de B\cos(\omega t)+C\sin(\omega t).
b) \displaystyle x(t)=A\sin(\omega t-\varphi) também é equivalente a uma combinação de cosseno e seno.
c) \displaystyle x(t)=A\cos(\omega t) é o caso particular C=0.
d) \displaystyle x(t)=B\cos(\omega t)+C\sin(\omega t) é a forma geral.

Passo 4

A opção e) é
x(t)=A e^{i\omega t}.
Embora e^{i\omega t} satisfaça a EDO, essa função é complexa. A posição física deve ser um valor real, e A e^{i\omega t} não é real a menos de tomar a parte real explícita.

Passo 5

Portanto, entre as dadas, apenas x(t)=A e^{i\omega t} não representa diretamente uma função real de posição de MHS sem tomar parte real ou imaginária.

Resposta

e) x(t)=A e^{i\omega t}

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