Sabendo que é de 1024 a soma dos coeficientes do polinômio em
e
, obtido pelo desenvolvimento do binômio
, temos que o número de arranjos sem repetição de
elementos, tomados 2 a 2 , é?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- É dada a expressão
. - A soma dos coeficientes do polinômio em
e , obtido ao desenvolver , é igual a . - Pede-se o número de arranjos sem repetição de
elementos, tomados 2 a 2.
Resumo do que precisamos achar: descobrir
a partir da soma dos coeficientes e, depois, calcular o número de arranjos sem repetição de
elementos tomados 2 a 2.
Passo 2
Vamos entender como obter a soma dos coeficientes do desenvolvimento de
.
Pelo Teorema do Binômio, a expansão é
onde
são os coeficientes binomiais. A soma de todos os coeficientes é obtida ao substituir
e
, porque cada monômio
torna-se
e resta apenas a soma dos coeficientes:
Pelo enunciado temos que essa soma vale
, então
Reconhecemos
como uma potência de
. Sabemos que
e que dobrando cinco vezes mais obtemos
. Portanto
Passo 3
Agora precisamos calcular o número de arranjos sem repetição de
elementos tomados 2 a 2.
Definição e fórmula: o número de arranjos (ou permutações parciais) de
elementos tomados
a
sem repetição é dado por
onde
(fatorial de
) significa
. A razão dessa fórmula vem da contagem direta: para formar uma sequência de
elementos distintos escolhemos a primeira posição com
opções, a segunda com
(pois não repetimos), e assim por diante, multiplicando as opções.
No caso
a fórmula simplifica para
porque ao cancelar
restam apenas os dois primeiros fatores
e
. Intuitivamente: escolha do primeiro elemento
opções, escolha do segundo
opções, multiplicando dá
.
Passo 4
Agora substituímos o valor de
que encontramos (
) na fórmula de arranjos:
Outra forma de ver:
.