Sabendo que é de 1024 a soma dos coeficientes do polinômio em x e y, obtido pelo desenvolvimento do binômio (x+y)^{n}, temos que o número de arranjos sem repetição de n elementos, tomados 2 a 2 , é?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • É dada a expressão (x+y)^{n}.
  • A soma dos coeficientes do polinômio em x e y, obtido ao desenvolver (x+y)^{n}, é igual a 1024.
  • Pede-se o número de arranjos sem repetição de n elementos, tomados 2 a 2.
Resumo do que precisamos achar: descobrir n a partir da soma dos coeficientes e, depois, calcular o número de arranjos sem repetição de n elementos tomados 2 a 2.

Passo 2

Vamos entender como obter a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x+y)^{n}.
Pelo Teorema do Binômio, a expansão é
(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^{k},
onde \binom{n}{k} são os coeficientes binomiais. A soma de todos os coeficientes é obtida ao substituir x=1 e y=1, porque cada monômio x^{n-k}y^{k} torna-se 1 e resta apenas a soma dos coeficientes:
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=(1+1)^{n}=2^{n}.
Pelo enunciado temos que essa soma vale 1024, então
2^{n}=1024.
Reconhecemos 1024 como uma potência de 2. Sabemos que 2^{5}=32 e que dobrando cinco vezes mais obtemos 2^{10}=1024. Portanto
n=10.

Passo 3

Agora precisamos calcular o número de arranjos sem repetição de n elementos tomados 2 a 2.
Definição e fórmula: o número de arranjos (ou permutações parciais) de n elementos tomados k a k sem repetição é dado por
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1. A razão dessa fórmula vem da contagem direta: para formar uma sequência de k elementos distintos escolhemos a primeira posição com n opções, a segunda com n-1 (pois não repetimos), e assim por diante, multiplicando as opções.
No caso k=2 a fórmula simplifica para
P(n,2)=\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1),
porque ao cancelar (n-2)! restam apenas os dois primeiros fatores n e n-1. Intuitivamente: escolha do primeiro elemento n opções, escolha do segundo n-1 opções, multiplicando dá n(n-1).

Passo 4

Agora substituímos o valor de n que encontramos ( n=10) na fórmula de arranjos:
P(10,2)=10\cdot 9=90.
Outra forma de ver: P(10,2)=\dfrac{10!}{8!}=\dfrac{10\cdot9\cdot8!}{8!}=10\cdot9=90.

Resposta

90

Exercícios relacionados