Dado o processo estocástico X(t)=A \cos \left(2 \pi f_{c} t+\theta\right) onde \theta é uma fase aleatória distribuída uniformemente no intervalo [0,2 \pi).
(a) Encontre a função de autocorrelação, R(\tau).
(b) Encontre a DEP S_{w}(f)
(c) Calcule a potência total do processo
Enunciado e o que é pedido. Temos o processo aleatório
X(t)=A\cos\bigl(2\pi f_{c} t+\theta\bigr),
onde \theta é uma fase aleatória com distribuição uniforme em [0,2\pi). O enunciado pede:
(a) A função de autocorrelação R(\tau), isto é R(\tau)=\mathbb{E}\big[X(t)X(t+\tau)\big].
(b) A densidade espectral de potência (DEP, também chamada PSD) S_{w}(f) do processo.
(c) A potência total do processo (que pode ser obtida por R(0) ou integrando S_{w}(f)).
Dado útil fornecido: a transformada de Fourier da função \cos(2\pi f_{c} t) é
Definição de autocorrelação e estratégia. A autocorrelação (de um processo em média finita) é
R(\tau)=\mathbb{E}\big[X(t)X(t+\tau)\big].
Como \theta é a única componente aleatória, a esperança é sobre \theta. Observe que se R(\tau) depender apenas de \tau o processo é estacionário em sentido amplo (isso já aparece naturalmente aqui). Vamos calcular \mathbb{E}\big[X(t)X(t+\tau)\big] substituindo X.
Passo 3
Multiplicação das cossenos e uso da identidade trigonométrica. Escrevendo o produto:
Observação: R(\tau) depende apenas de \tau, confirmando que o processo é estacionário em sentido amplo.
Passo 5
Passando de R(\tau) para a DEP S_{w}(f). Pelo teorema de Wiener–Khinchin (ou propriedade padrão de que a DEP é a transformada de Fourier da autocorrelação), temos