Dado o processo estocástico X(t)=A \cos \left(2 \pi f_{c} t+\theta\right) onde \theta é uma fase aleatória distribuída uniformemente no intervalo [0,2 \pi).
(a) Encontre a função de autocorrelação, R(\tau).
(b) Encontre a DEP S_{w}(f)
(c) Calcule a potência total do processo
Dados,
\cos \left(2 \pi f_{c} t\right) \xrightarrow{\mathscr{F}} \frac{1}{2}\left(\delta\left(f-f_{c}\right)+\delta\left(f+f_{c}\right)\right)

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. Temos o processo aleatório
X(t)=A\cos\bigl(2\pi f_{c} t+\theta\bigr),
onde \theta é uma fase aleatória com distribuição uniforme em [0,2\pi). O enunciado pede:
  1. (a) A função de autocorrelação R(\tau), isto é R(\tau)=\mathbb{E}\big[X(t)X(t+\tau)\big].
  2. (b) A densidade espectral de potência (DEP, também chamada PSD) S_{w}(f) do processo.
  3. (c) A potência total do processo (que pode ser obtida por R(0) ou integrando S_{w}(f)).
    Dado útil fornecido: a transformada de Fourier da função \cos(2\pi f_{c} t) é
\cos\bigl(2\pi f_{c} t\bigr)\xrightarrow{\mathscr{F}}\tfrac{1}{2}\bigl(\delta(f-f_{c})+\delta(f+f_{c})\bigr).

Passo 2

Definição de autocorrelação e estratégia. A autocorrelação (de um processo em média finita) é
R(\tau)=\mathbb{E}\big[X(t)X(t+\tau)\big].
Como \theta é a única componente aleatória, a esperança é sobre \theta. Observe que se R(\tau) depender apenas de \tau o processo é estacionário em sentido amplo (isso já aparece naturalmente aqui). Vamos calcular \mathbb{E}\big[X(t)X(t+\tau)\big] substituindo X.

Passo 3

Multiplicação das cossenos e uso da identidade trigonométrica. Escrevendo o produto:
X(t)X(t+\tau)=A^2\cos\bigl(2\pi f_{c} t+\theta\bigr)\cos\bigl(2\pi f_{c}(t+\tau)+\theta\bigr).
Usamos a identidade
\cos u\cos v=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(u-v)+\cos(u+v)\bigr).
Aqui u=2\pi f_{c} t+\theta e v=2\pi f_{c}(t+\tau)+\theta. Então
X(t)X(t+\tau)=\tfrac{A^2}{2}\Bigl(\cos\bigl(2\pi f_{c} t+\theta-(2\pi f_{c} t+2\pi f_{c}\tau+\theta)\bigr)+\cos\bigl(2(2\pi f_{c} t+\theta)+2\pi f_{c}\tau\bigr)\Bigr).
Simplificando os argumentos:
X(t)X(t+\tau)=\tfrac{A^2}{2}\Bigl(\cos\bigl(-2\pi f_{c}\tau\bigr)+\cos\bigl(4\pi f_{c} t+2\theta+2\pi f_{c}\tau\bigr)\Bigr).
Como \cos(-x)=\cos x,
X(t)X(t+\tau)=\tfrac{A^2}{2}\Bigl(\cos\bigl(2\pi f_{c}\tau\bigr)+\cos\bigl(4\pi f_{c} t+2\theta+2\pi f_{c}\tau\bigr)\Bigr).

Passo 4

Tomando expectativa sobre \theta. A média sobre \theta (uniforme em [0,2\pi)) é
R(\tau)=\mathbb{E}_\theta\big[X(t)X(t+\tau)\big]=\tfrac{A^2}{2}\Bigl(\cos\bigl(2\pi f_{c}\tau\bigr)+\mathbb{E}_\theta\big[\cos\bigl(4\pi f_{c} t+2\theta+2\pi f_{c}\tau\bigr)\big]\Bigr).
A segunda esperança depende de \theta por meio de \cos(2\theta+\text{const}). Calculamos explicitamente
\mathbb{E}_\theta\big[\cos(2\theta+\varphi)\big]=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta+\varphi)\,d\theta=0,
pois a integral de um cosseno sobre um período inteiro é zero. Portanto o segundo termo desaparece e obtemos
R(\tau)=\tfrac{A^2}{2}\cos\bigl(2\pi f_{c}\tau\bigr).
Observação: R(\tau) depende apenas de \tau, confirmando que o processo é estacionário em sentido amplo.

Passo 5

Passando de R(\tau) para a DEP S_{w}(f). Pelo teorema de Wiener–Khinchin (ou propriedade padrão de que a DEP é a transformada de Fourier da autocorrelação), temos
S_{w}(f)=\mathscr{F}\{R(\tau)\}=\mathscr{F}\Big\{\tfrac{A^2}{2}\cos\bigl(2\pi f_{c}\tau\bigr)\Big\}.
Usando linearidade da transformada e o dado fornecido (a transformada de \cos(2\pi f_{c}t) é \tfrac{1}{2}(\delta(f-f_c)+\delta(f+f_c))), obtemos
S_{w}(f)=\tfrac{A^2}{2}\cdot \tfrac{1}{2}\bigl(\delta(f-f_c)+\delta(f+f_c)\bigr)=\tfrac{A^2}{4}\bigl(\delta(f-f_c)+\delta(f+f_c)\bigr).
Explicação breve: a transformada de \cos(2\pi f_c \tau) gera deltas em \pm f_c com fator 1/2; multiplicando por A^2/2 resulta no fator A^2/4.

Passo 6

Potência total do processo. A potência média (total) do processo pode ser obtida por R(0) ou pela integral da DEP:
  1. Pelo valor em \tau=0:
R(0)=\tfrac{A^2}{2}\cos(0)=\tfrac{A^2}{2}.
  1. Pela integral da DEP:
\int_{-\infty}^{\infty}S_{w}(f)\,df=\tfrac{A^2}{4}\int_{-\infty}^{\infty}\bigl(\delta(f-f_c)+\delta(f+f_c)\bigr)\,df=\tfrac{A^2}{4}\bigl(1+1\bigr)=\tfrac{A^2}{2},
que coincide com R(0), como esperado. Portanto a potência total é \tfrac{A^2}{2}.

Resposta

R(\tau)=\tfrac{A^2}{2}\cos\bigl(2\pi f_{c}\tau\bigr)
S_{w}(f)=\tfrac{A^2}{4}\bigl(\delta(f-f_{c})+\delta(f+f_{c})\bigr)
\text{Potência total}=\tfrac{A^2}{2}ê

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