Determine, quando for possível, o valor de
se:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:
a) Encontrar tal que
.
b) Encontrar tal que
.
a) Encontrar
b) Encontrar
Informações dadas: as expressões
e
são números que dependem de
. Não há figura nem tabela. Devemos supor que
é um inteiro não negativo e que as notações
estão definidas para
(ou seja, para permutações de
elementos dentre
).
Passo 2
Primeiro precisamos saber a fórmula que relaciona
com fatoriais. A definição padrão é
onde
(lê‑se “n fatorial”) é o produto
. Aqui
é o total de elementos e
é quantos escolhemos levando em conta a ordem. Essa fórmula vem da ideia: para o primeiro lugar temos
opções, para o segundo
, e assim por diante, multiplicando até
fatores.
Aplicando essa fórmula para
obtemos uma forma simples:
Explicando passo a passo:
, então ao dividir por
restam apenas os dois primeiros fatores
.
Passo 3
Resolvendo a parte (a). Usamos o resultado anterior e igualamos a
:
Isso é uma equação quadrática. Colocando na forma padrão:
Passo 4
Para resolver
usamos a fórmula quadrática (ou fatoramos). Vamos calcular o discriminante:
Observação:
, ou seja,
. Assim as raízes são
Isso dá duas soluções numéricas:
e
.
Passo 5
Interpretando as soluções:
não faz sentido para o número de elementos em permutações (procuramos
inteiro não negativo e, além disso, para
precisamos
). Portanto a solução válida é
Conferência rápida:
, ok!
Passo 6
Agora resolvemos a parte (b). Escrevemos a equação usando a fórmula de
:
Vamos simplificar o lado direito expandindo os três fatores finais:
Portanto a equação fica
Passo 7
Simplificamos o lado direito fatorando
em
:
Logo a equação é
Passo 8
Subtraindo o lado esquerdo do direito (ou fatorando), obtemos
Calcule o termo entre parênteses:
Então a expressão fatorada é proporcional a
Passo 9
As soluções dessa equação fatorada são os valores que anulam algum fator:
,
ou
(esta última vem de
). Ou seja, como soluções numéricas aparecem
e
. Mas precisamos checar a validade desses
em relação às definições iniciais: para
estarmos no contexto padrão exigimos
(pois
pressupõe escolher 2 itens dentre
). Portanto
e
não são permitidos aqui.
Passo 10
Se assumimos
(condição necessária para
estar definido no sentido usual), então no passo de simplificação podíamos dividir por
porque esse produto seria diferente de zero; fazendo isso obtemos
o que é contraditório com
. Portanto não existe
inteiro que satisfaça a equação.
Resposta
a)
b) não existe ,
, que satisfaça a equação
b) não existe