Determine, quando for possível, o valor de n se:
a) A(n, 2)=72
b) 4 A(n, 2)=A(2 n, 3)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
a) Encontrar n tal que A(n,2)=72.
b) Encontrar n tal que 4\,A(n,2)=A(2n,3).
Informações dadas: as expressões A(n,2) e A(2n,3) são números que dependem de n. Não há figura nem tabela. Devemos supor que n é um inteiro não negativo e que as notações A(n,k) estão definidas para k\le n (ou seja, para permutações de k elementos dentre n).

Passo 2

Primeiro precisamos saber a fórmula que relaciona A(n,k) com fatoriais. A definição padrão é
A(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! (lê‑se “n fatorial”) é o produto n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 1. Aqui n é o total de elementos e k é quantos escolhemos levando em conta a ordem. Essa fórmula vem da ideia: para o primeiro lugar temos n opções, para o segundo n-1, e assim por diante, multiplicando até k fatores.
Aplicando essa fórmula para k=2 obtemos uma forma simples:
A(n,2)=\frac{n!}{(n-2)!}=n\cdot(n-1).
Explicando passo a passo: n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!, então ao dividir por (n-2)! restam apenas os dois primeiros fatores n(n-1).

Passo 3

Resolvendo a parte (a). Usamos o resultado anterior e igualamos a 72:
n(n-1)=72.
Isso é uma equação quadrática. Colocando na forma padrão:
n^2-n-72=0.

Passo 4

Para resolver n^2-n-72=0 usamos a fórmula quadrática (ou fatoramos). Vamos calcular o discriminante:
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot 1\cdot(-72) = 1+288=289.
Observação: 289=17^2, ou seja, \sqrt{\Delta}=17. Assim as raízes são
n=\frac{1\pm 17}{2}.
Isso dá duas soluções numéricas: n=\dfrac{1+17}{2}=9 e n=\dfrac{1-17}{2}=-8.

Passo 5

Interpretando as soluções: n=-8 não faz sentido para o número de elementos em permutações (procuramos n inteiro não negativo e, além disso, para A(n,2) precisamos n\ge2). Portanto a solução válida é
n=9.
Conferência rápida: A(9,2)=9\cdot 8=72, ok!

Passo 6

Agora resolvemos a parte (b). Escrevemos a equação usando a fórmula de A:
4\,A(n,2)=A(2n,3)
4\cdot n(n-1) = \frac{(2n)!}{(2n-3)!}.
Vamos simplificar o lado direito expandindo os três fatores finais:
A(2n,3)=(2n)(2n-1)(2n-2).
Portanto a equação fica
4\,n(n-1) = (2n)(2n-1)(2n-2).

Passo 7

Simplificamos o lado direito fatorando 2 em (2n-2)=2(n-1):
(2n)(2n-1)(2n-2) = (2n)(2n-1)\cdot 2(n-1) = 4\,n(n-1)(2n-1).
Logo a equação é
4\,n(n-1) = 4\,n(n-1)(2n-1).

Passo 8

Subtraindo o lado esquerdo do direito (ou fatorando), obtemos
4\,n(n-1)\bigl(1-(2n-1)\bigr)=0.
Calcule o termo entre parênteses:
1-(2n-1)=2-2n=2(1-n).
Então a expressão fatorada é proporcional a
4\,n(n-1)\cdot 2(1-n)=8\,n(n-1)(1-n)=0.

Passo 9

As soluções dessa equação fatorada são os valores que anulam algum fator: n=0, n=1 ou n=1 (esta última vem de 1-n=0). Ou seja, como soluções numéricas aparecem n=0 e n=1. Mas precisamos checar a validade desses n em relação às definições iniciais: para A(n,2) estarmos no contexto padrão exigimos n\ge2 (pois A(n,2)=n(n-1) pressupõe escolher 2 itens dentre n). Portanto n=0 e n=1 não são permitidos aqui.

Passo 10

Se assumimos n\ge2 (condição necessária para A(n,2) estar definido no sentido usual), então no passo de simplificação podíamos dividir por 4\,n(n-1) porque esse produto seria diferente de zero; fazendo isso obtemos
1 = 2n-1 \quad\Rightarrow\quad 2n=2\quad\Rightarrow\quad n=1,
o que é contraditório com n\ge2. Portanto não existe n\ge2 inteiro que satisfaça a equação.

Resposta

a) n=9
b) não existe n\in\mathbb{Z}, n\ge2, que satisfaça a equação

Exercícios relacionados